Considerando a tabela:
Dê uma aproximação para a raiz da equação
utilizando interpolação quadrática.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem uma tabela de valores
e precisa achar, por interpolação quadrática, uma aproximação para a raiz da equação
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial de grau 2 (quadrática).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Escolher três pontos próximos de onde
. - Montar o polinômio interpolador de grau 2 (usando diferenças divididas).
- Igualar esse polinômio a 2.5 e resolver a equação para
.
Passo 2
Primeiro, qual trecho da tabela contém
?
- Em
, (abaixo de 2.5). - Em
, (acima de 2.5).
Então a raiz está entre 1.2 e 2.3. Para interpolação quadrática, pegamos mais um ponto vizinho para melhorar a curva. Vou escolher:
Passo 3
Agora, calculamos as diferenças divididas (forma de Newton).
- Primeira diferença dividida entre
e :
- Primeira diferença dividida entre
e :
- Segunda diferença dividida (entre os dois valores acima):
Passo 4
Com isso, o polinômio de Newton de grau 2 é
Substituindo os valores:
Passo 5
Pra achar a raiz aproximada de
, a gente iguala
Reorganizando dá uma equação quadrática no formato
Resolvendo (fórmula de Bhaskara), aparecem duas raízes, mas só a que está entre 1.2 e 2.3 faz sentido aqui:
Resposta
A aproximação da raiz de
por interpolação quadrática é