Considerando a tabela:
l|lllll x & 0 & 1.2 & 2.3 & 3.1 & 3.9 hline f(x) & 0 & 1.5 & 5.3 & 9.5 & 10
Dê uma aproximação para a raiz da equação f(x)=2.5 utilizando interpolação quadrática.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem uma tabela de valores
l|lllll x & 0 & 1.2 & 2.3 & 3.1 & 3.9 hline f(x) & 0 & 1.5 & 5.3 & 9.5 & 10
e precisa achar, por interpolação quadrática, uma aproximação para a raiz da equação
f(x)=2.5
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial de grau 2 (quadrática).
O que vamos precisar:
  1. Escolher três pontos próximos de onde .
  2. Montar o polinômio interpolador de grau 2 (usando diferenças divididas).
  3. Igualar esse polinômio a 2.5 e resolver a equação para .

Passo 2

Primeiro, qual trecho da tabela contém (x0,f0)=(1.2,1.5), (x1,f1)=(2.3,5.3), (x2,f2)=(3.1,9.5) ?
  • Em , (abaixo de 2.5).
  • Em , (acima de 2.5).
    Então a raiz está entre 1.2 e 2.3. Para interpolação quadrática, pegamos mais um ponto vizinho para melhorar a curva. Vou escolher:

Passo 3

Agora, calculamos as diferenças divididas (forma de Newton).
  1. Primeira diferença dividida entre f[x0,x1] =f1-f0x1-x0 =5.3-1.52.3-1.2 =3.81.1approx3.4545 e f[x1,x2] =9.5-5.33.1-2.3 =4.20.8=5.25 :
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =5.25-3.45453.1-1.2 approx1.79551.9approx0.9460
  1. Primeira diferença dividida entre e :
  1. Segunda diferença dividida (entre os dois valores acima):

Passo 4

Com isso, o polinômio de Newton de grau 2 é
P2(x) =f0 + f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1)
Substituindo os valores:
P2(x) =1.5 + 3.4545,(x-1.2) +0.9460,(x-1.2)(x-2.3)

Passo 5

Pra achar a raiz aproximada de P2(x)=2.5 Longrightarrow 1.5 + 3.4545(x-1.2) + 0.9460(x-1.2)(x-2.3)=2.5 , a gente iguala
0.94597,x^2 + 0.14363,x - 2.53445 = 0
Reorganizando dá uma equação quadrática no formato
xapprox1.56
Resolvendo (fórmula de Bhaskara), aparecem duas raízes, mas só a que está entre 1.2 e 2.3 faz sentido aqui:

Resposta

A aproximação da raiz de boxedxapprox1.56 por interpolação quadrática é

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