Para o sistema dado, resolva-o (ou tente resolver!) usando cada um dos métodos a seguir. Nos itens b) e c), verifique inicialmente a convergência usando um critério de convergência apropriado e, a seguir, resolva-os usando varepsilon=0,001 e x^(0) a sua escolha:
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12
Eliminação de Gauss

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas:
2x1+2x2+x3+x4=7, x1-x2+2x3-x4=1, 3x1+2x2-3x3-2x4=4, 4x1+3x2+2x3+x4=12
Conteúdo: eliminação de Gauss (matriz aumentada + operações elementares) e back‐substitution. Vamos montar a matriz aumentada, zerar coluna a coluna e, no final, voltar resolvendo de baixo para cima.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 1 & -1 & 2 & -1 & 1 3 & 2 & -3 & -2 & 4 4 & 3 & 2 & 1 & 12 ]
Queremos zerar todo mundo na coluna 1, exceto a primeira linha (pivot). Usamos operações do tipo L_i ← L_i − m·L_1:
  1. L₂ ← L₂ − (1/2)L₁
    L₂: ;[1,-1,2,-1mid1];-;tfrac12[2,2,1,1mid7] = [0,-2,1.5,-1.5mid -2.5]
  2. L₃ ← L₃ − (3/2)L₁
    L₃: ;[3,2,-3,-2mid4];-;tfrac32[2,2,1,1mid7] = [0,-1,-4.5,-3.5mid -6.5]
  3. L₄ ← L₄ − 2L₁
    L₄: ;[4,3,2,1mid12];-;2[2,2,1,1mid7] = [0,-1,0,-1mid -2]
Agora a matriz é
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & -2 ]

Passo 3

Próximo pivot é na linha 2, coluna 2 (−2). Vamos zerar as entradas abaixo:
  1. L₃ ← L₃ − ( (−1)/(−2) )·L₂ = L₃ − 0.5·L₂
    L₃: [0,-1,-4.5,-3.5mid -6.5] -0.5,[0,-2,1.5,-1.5mid -2.5] = [0,0,-5.25,-2.75mid -5.25]
  2. L₄ ← L₄ − 0.5·L₂
    L₄: [0,-1,0,-1mid -2] -0.5,[0,-2,1.5,-1.5mid -2.5] = [0,0,-0.75,-0.25mid -0.75]
Fica
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & -2.5 0 & 0 & -5.25 & -2.75 & -5.25 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & -0.75 ]

Passo 4

Pivot agora é na linha 3, coluna 3 (−5.25). Zera em L₄:
L₄ ← L₄ − ( (−0.75)/(−5.25) )·L₃ = L₄ − (1/7)·L₃
L₃/7 = [0,0,-0.75,-0.392857mid -0.75], L₄ - L₃/7 = [0,0,0,0.142857mid 0]
Então a última linha vira
0cdot x1 +0cdot x2 +0cdot x3 +tfrac17x4 = 0 ;Longrightarrow; x4 = 0

Passo 5

Subindo:
  1. Na linha 3:

  2. Na linha 2:

  3. Na linha 1:


Resposta

boxedx1=1, x2=2, x3=1, x4=0

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