Para o sistema dado, resolva-o (ou tente resolver!) usando cada um dos métodos a seguir. Nos itens b) e c), verifique inicialmente a convergência usando um critério de convergência apropriado e, a seguir, resolva-os usando
e
a sua escolha:
Eliminação de Gauss
Passo 1
Beleza, temos um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas:
Conteúdo: eliminação de Gauss (matriz aumentada + operações elementares) e back‐substitution. Vamos montar a matriz aumentada, zerar coluna a coluna e, no final, voltar resolvendo de baixo para cima.
Passo 2
Matriz aumentada inicial:
Queremos zerar todo mundo na coluna 1, exceto a primeira linha (pivot). Usamos operações do tipo L_i ← L_i − m·L_1:
-
L₂ ← L₂ − (1/2)L₁
L₂: ;[1,-1,2,-1mid1];-;tfrac12[2,2,1,1mid7] = [0,-2,1.5,-1.5mid -2.5] ₂ -
L₃ ← L₃ − (3/2)L₁
L₃: ;[3,2,-3,-2mid4];-;tfrac32[2,2,1,1mid7] = [0,-1,-4.5,-3.5mid -6.5] ₃ -
L₄ ← L₄ − 2L₁
L₄: ;[4,3,2,1mid12];-;2[2,2,1,1mid7] = [0,-1,0,-1mid -2] ₄
Agora a matriz é
Passo 3
Próximo pivot é na linha 2, coluna 2 (−2). Vamos zerar as entradas abaixo:
-
L₃ ← L₃ − ( (−1)/(−2) )·L₂ = L₃ − 0.5·L₂
L₃: [0,-1,-4.5,-3.5mid -6.5] -0.5,[0,-2,1.5,-1.5mid -2.5] = [0,0,-5.25,-2.75mid -5.25] ₃ -
L₄ ← L₄ − 0.5·L₂
L₄: [0,-1,0,-1mid -2] -0.5,[0,-2,1.5,-1.5mid -2.5] = [0,0,-0.75,-0.25mid -0.75] ₄
Fica
Passo 4
Pivot agora é na linha 3, coluna 3 (−5.25). Zera em L₄:
L₄ ← L₄ − ( (−0.75)/(−5.25) )·L₃ = L₄ − (1/7)·L₃
Então a última linha vira
Passo 5
Subindo:
-
Na linha 3:
⇒ -
Na linha 2:
⇒ ⇒ ⇒ -
Na linha 1:
⇒
⇒ ⇒