Considere as funções reais f(x)=x^4-8, g(x)=x^3-3 x^2-13 x+15 e h(x)=x^2-4 x-5 e tolerância epsilon=10^-1
Use o método de Newton-Raphson para f tomando valor inicial x0=0,5.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a raiz de ,f(x)=x^4-8 pelo método de Newton–Raphson, usando o ponto inicial x0=0,5 e tolerância epsilon=10^-1. Vamos precisar da derivada de f e da fórmula iterativa de Newton.

Passo 2

A fórmula geral do método de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
e como
f'(x)=4x^3,
temos
xn+1=xn-xn^4-84xn^3

Passo 3

Aplicando a partir de x0=0,5, calculamos sucessivamente:
x1=0,5-0,5^4-84cdot0,5^3=16,375,
x2=16,375-16,375^4-84cdot16,375^3approx12,270,
x3approx9,207,
x4approx6,907,
x5approx5,185,
x6approx3,904,
x7approx2,962,
x8approx2,299,
x9approx1,889,
x10approx1,714,
x11approx1,683.

Passo 4

Verificamos a condição de parada
|x11-x10|approx|1,683-1,714|=0,031<0,1,
logo atingimos a tolerância em 11 iterações e a raiz aproximada é
xapprox1,683

Resposta

Aproximação da raiz: xapprox1,683 (obtida em 11 iterações).

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