Considere a integração abaixo, calcule sua solução utilizando substituição trigonométrica:
integral-12^raiz32 raiz1-x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular
integral-tfrac12^tfracraiz32raiz1 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. A matéria aqui é “integração por substituição trigonométrica” e, para resolver, a gente vai usar a ideia de escrever como seno de um ângulo , porque daí vira cosseno e a conta fica mais tranquila.

Passo 2

Queremos usar a substituição
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
(escolhemos porque ).
Precisamos também converter os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 3

Substituindo na integral:
integral-tfrac12^tfracraiz32raiz1 - x^2,dx = integral-tfracpi6^tfracpi3 costheta;l(costheta,dthetar) = integral-tfracpi6^tfracpi3cos^2theta,dtheta
Agora usamos a identidade
integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 12integral 1,dtheta + 12integral cos(2theta),dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C , então

Passo 4

Agora a gente avalia de l[theta2 + sin(2theta)4r]-tfracpi6^tfracpi3 =l(pi/32+sin(2cdotpi/3)4r) - l(-pi/62+sin(-2cdotpi/6)4r) a pi/32 = pi6, sin2pi3 = raiz32implies sin(2theta)4=raiz38, :
-pi/62 = -pi12, sinl(-tfracpi3r)=-raiz32implies sin(2theta)4=-raiz38
Calculando cada parte:
l(pi6+raiz38r) -l(-pi12-raiz38r) = pi6+pi12 + raiz38+raiz38 = pi4 + raiz34
Subtraindo:

Resposta

integral-tfrac12^tfracraiz32raiz1 - x^2,dx = pi4 + raiz34

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