Considere as integrais:
(I)
,
(II)
.
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
(a) Regra dos Trapézios.
(I)
(II)
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
(a) Regra dos Trapézios.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para aproximar integrais duplas
e triplas
usando a Regra dos Trapézios. Isso é parte de Cálculo Numérico: vamos precisar lembrar como funciona a Regra dos Trapézios em 1D e depois estender para 2D, 3D e até generalizar.
Passo 2
Primeiro, a ideia básica em 1D é:
– Dividimos em
subintervalos de largura
– Dividimos
– Os pontos são
,
.
– A Regra dos Trapézios 1D diz
– A Regra dos Trapézios 1D diz
Explicação rápida: a gente aproxima cada pedacinho por um trapézio e soma tudo.
Passo 3
Para passar a 2D, fazemos “trapézio” em
e em
de forma repetida:
- Dividimos
em pedaços de e em pedaços de . - Os nós da grade são
, onde
- Definimos os pesos em cada direção:
- A aproximação fica
Passo 4
Em 3D é a mesma brincadeira, agora com
dividido em
Nós temos pontos
e pesos
Aí
Passo 5
Percebe que, se a gente olhar a estrutura, para
dimensões basta:
– Em cada direção dividir o intervalo em
pedaços de largura
.
– Definir pesos que valem 1 nos extremos e 2 nos pontos internos.
– Multiplicar todos os e dividir por
.
– Fazer a soma dupla (ou tripla, etc.) de nos pontos da grade multiplicado pelo produto dos pesos.
– Em cada direção
– Definir pesos
– Multiplicar todos os
– Fazer a soma dupla (ou tripla, etc.) de
Resposta
Fórmula geral em
dimensões (para
e
recuperam os casos I e II):
onde, em cada direção
,