Considere as integrais:
(I) integrala^b integralc^d g(x, y) d x d y,
(II) integrala^b integralc^d integrale^f g(x, y, z) d x d y d z.
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
(a) Regra dos Trapézios.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para aproximar integrais duplas
(I);integrala^b!integralc^d g(x,y),dx,dy
e triplas
(II);integrala^b!integralc^d!integrale^f g(x,y,z),dx,dy,dz
usando a Regra dos Trapézios. Isso é parte de Cálculo Numérico: vamos precisar lembrar como funciona a Regra dos Trapézios em 1D e depois estender para 2D, 3D e até generalizar.

Passo 2

Primeiro, a ideia básica em 1D é:
– Dividimos h = b - an em integrala^b f(x),dx approx h2l[f(x0)+f(xn) + 2!sumi=1^n-1f(xi)r] subintervalos de largura
– Os pontos são , .
– A Regra dos Trapézios 1D diz
Explicação rápida: a gente aproxima cada pedacinho por um trapézio e soma tudo.

Passo 3

Para passar a 2D, fazemos “trapézio” em xi=a+i,hx, i=0,dots,nx; yj=c+j,hy, j=0,dots,ny e em wi^x = 1,& i=0 ou i=nx, 2,&caso contrário, wj^y = 1,& j=0 ou j=ny, 2,&caso contrário de forma repetida:
  1. Dividimos integrala^b!integralc^d g(x,y),dx,dy ;approx; hx,hy4; sumi=0^nxsumj=0^ny wi^x,wj^y;g(xi,yj) em pedaços de e em pedaços de .
  2. Os nós da grade são , onde
  1. Definimos os pesos em cada direção:
áá
  1. A aproximação fica

Passo 4

Em 3D é a mesma brincadeira, agora com hx=b-anx,; hy=d-cny,; hz=f-enz dividido em
wi^x=1 em i=0,nx;;2 senão, wj^y=1 em j=0,ny;;2, wk^z=1 em k=0,nz;;2
Nós temos pontos integrala^b!integralc^d!integrale^f g(x,y,z),dx,dy,dz ;approx; hx,hy,hz8; sumi=0^nxsumj=0^nysumk=0^nz wi^x,wj^y,wk^z;g(xi,yj,zk) e pesos
ã

Passo 5

Percebe que, se a gente olhar a estrutura, para dimensões basta:
– Em cada direção dividir o intervalo em pedaços de largura .
– Definir pesos que valem 1 nos extremos e 2 nos pontos internos.
– Multiplicar todos os e dividir por .
– Fazer a soma dupla (ou tripla, etc.) de nos pontos da grade multiplicado pelo produto dos pesos.

Resposta

Fórmula geral em boxed integralOmega g( x),d x ;approx; 12^D,l(prodj=1^Dhjr) sumi1=0^n1cdotssumiD=0^nD l(prodj=1^Dw^jijr); g(xi1^1,dots,xiD^D) dimensões (para hj=comprimento do intervalojnj, w^jij= 1,&ij=0 ou ij=nj, 2,&caso contrário e recuperam os casos I e II):
onde, em cada direção ,
á

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