Considere as integrais:
(I) ,
(II) .
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
(b) Regra de Simpson
Passo 1
Então, o exercício tá pedindo pra gente achar uma fórmula geral pra aproximar:
(I) a integral dupla
(II) a integral tripla
usando a Regra 1/3 de Simpson.
Isso é conteúdo de métodos numéricos (integração aproximada). A gente vai precisar:
Saber a Regra de Simpson 1/3 em 1D;
Entender como “aninhar” essa regra em 2D e 3D.
Passo 2
Primeiro, a Regra de Simpson 1/3 em 1D:
Divide o intervalo em subintervalos de tamanho , com par.
Define , para .
Aproxima
Por que isso funciona? A Regra de Simpson ajusta, a cada par de subintervalos, uma parábola que passa pelos três pontos , , e calcula a área exata dessa parábola. Ao somar tudo, a gente chega à fórmula acima com aqueles pesos 1–4–2–4–…–1.
Passo 3
Agora, para a integral dupla ,
a ideia é “aninhar” Simpson em e em :
Divide em partes (tamanho , par) e .
Divide em partes (tamanho , par) e .
Primeiro, pra cada , aplica Simpson em : ,
onde
Depois, aplica Simpson em sobre essas :
Reunindo tudo:
com , e cada vetor de pesos seguindo 1–4–2–…–4–1.
Passo 4
Para a integral tripla boxed integrala^b!integralc^d!integrale^fg(x,y,z),dx,dy,dz ;approx; h,k,ell27 sumi=0^nsumj=0^msumk=0^p wi,wj,wk,g(xi,yj,zk) ,
é a mesma pegada, só que agora aninhando Simpson três vezes:
Em : , .
Em : , .
Em : , , par.
Aplica Simpson em , depois em , depois em .
Resultado final:
onde cada segue a sequência de pesos 1,4,2,4,…,2,4,1.