Considere as integrais:
(I) integrala^b integralc^d g(x, y) d x d y,
(II) integrala^b integralc^d integrale^f g(x, y, z) d x d y d z.
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
(b) Regra 1 / 3 de Simpson

Passo 1

Então, o exercício tá pedindo pra gente achar uma fórmula geral pra aproximar:
(I) a integral dupla
(II) a integral tripla
usando a Regra 1/3 de Simpson.
Isso é conteúdo de métodos numéricos (integração aproximada). A gente vai precisar:
  • Saber a Regra de Simpson 1/3 em 1D;
  • Entender como “aninhar” essa regra em 2D e 3D.

Passo 2

Primeiro, a Regra de Simpson 1/3 em 1D:
  1. Divide o intervalo integrala^b f(x),dx approx h3l[f(x0) +4!!!sumsubstacki=1i ímpar^n-1f(xi) +2!!!sumsubstacki=2i par^n-2f(xi) +f(xn)r] em subintervalos de tamanho
    , com par.
  2. Define , para .
  3. Aproxima í
Por que isso funciona? A Regra de Simpson ajusta, a cada par de subintervalos, uma parábola que passa pelos três pontos , , e calcula a área exata dessa parábola. Ao somar tudo, a gente chega à fórmula acima com aqueles pesos 1–4–2–4–…–1.

Passo 3

Agora, para a integral dupla
wi = 1, & i=0 ou i=n, 4, & i ímpar, 2, & i par (não nas bordas) ,
a ideia é “aninhar” Simpson em I approx k3sumj=0^m wj,Sx(yj) = k3sumj=0^m wjl[h3sumi=0^n wi,g(xi,yj)r] e em boxed integrala^b!integralc^dg(x,y),dx,dy ;approx; h,k9sumi=0^nsumj=0^m wi,wj,g(xi,yj) :
  1. Divide em partes (tamanho , par) e .
  2. Divide em partes (tamanho , par) e .
  3. Primeiro, pra cada , aplica Simpson em :
    ,
    onde íã
  4. Depois, aplica Simpson em sobre essas :
  5. Reunindo tudo:
com , e cada vetor de pesos seguindo 1–4–2–…–4–1.

Passo 4

Para a integral tripla
boxed integrala^b!integralc^d!integrale^fg(x,y,z),dx,dy,dz ;approx; h,k,ell27 sumi=0^nsumj=0^msumk=0^p wi,wj,wk,g(xi,yj,zk) ,
é a mesma pegada, só que agora aninhando Simpson três vezes:
  1. Em : , .
  2. Em : , .
  3. Em : , , par.
  4. Aplica Simpson em , depois em , depois em .
    Resultado final:
onde cada segue a sequência de pesos 1,4,2,4,…,2,4,1.

Resposta

Integral dupla (I):
Integral tripla (II):
Com , , e todos pares; pesos seguem 1–4–2–…–4–1.

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