Verifique que para qualquer polinômio P(x) de grau n <= 1, o valor da integral;
integrala^b P(x) d x=P(m)
é exato, para m=a+b2 (Regra do ponto médio).

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra mostrar que, se eu tenho um polinômio qualquer de grau até 1 (ou seja, algo do tipo P(x)=alpha x+beta), a integral dele de a até b é exatamente dada pelo “valor do polinômio no ponto médio” vezes o comprimento do intervalo. Em outras palavras, a Regra do Ponto Médio diz que
integrala^bP(x),dx;=;(b-a),P!l(tfraca+b2r),
Para fazer isso, a matéria que precisamos é:
- Saber integrar polinômios (integrais básicas).
- Entender como avaliar a integral definida de a até b.
- Reconhecer o ponto médio m=tfraca+b2.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o polinômio genérico de grau 1:
P(x)=alpha x+beta,,
onde alpha e beta são constantes quaisquer.

Passo 3

Agora integramos P(x) de forma indefinida:
integral P(x),dx=integral(alpha x+beta),dx =alphaintegral x,dx+betaintegral1,dx =alphax^22+beta x+C,

Passo 4

A integral definida de a até b é
integrala^bP(x),dx =l[alphax^22+beta xr]a^b =l(alphab^22+beta br)-l(alphaa^22+beta ar)
Agora fatoramos (b-a):
alphab^2-a^22+beta(b-a) =alpha(b-a)(b+a)2+beta(b-a) =(b-a)l(alphab+a2+betar)

Passo 5

Repare que alphab+a2+beta=P!l(tfraca+b2r), porque é só substituir x=tfraca+b2 em P(x)=alpha x+beta. Logo:
$$\int_a^bP(x),dx
=(b-a);P!\Bigl(\tfrac{a+b}2\Bigr).$$

Resposta

A integral de qualquer polinômio de grau <=1 no intervalo [a,b] é exatamente
boxedintegrala^bP(x),dx=(b-a),P!l(tfraca+b2r),,
ou seja, a Regra do Ponto Médio é exata nesse caso.

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