Verifique que para qualquer polinômio
de grau
, o valor da integral;
é exato, para
(Regra do ponto médio).
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra mostrar que, se eu tenho um polinômio qualquer de grau até 1 (ou seja, algo do tipo
), a integral dele de
até
é exatamente dada pelo “valor do polinômio no ponto médio” vezes o comprimento do intervalo. Em outras palavras, a Regra do Ponto Médio diz que
Para fazer isso, a matéria que precisamos é:
- Saber integrar polinômios (integrais básicas).
- Entender como avaliar a integral definida de
- Reconhecer o ponto médio
Passo 2
Vamos começar escrevendo o polinômio genérico de grau 1:
onde
Passo 3
Agora integramos
de forma indefinida:
Passo 4
A integral definida de
até
é
Agora fatoramos
:
Passo 5
Repare que
, porque é só substituir
em
. Logo:
$$\int_a^bP(x),dx
=(b-a);P!\Bigl(\tfrac{a+b}2\Bigr).$$
Resposta
A integral de qualquer polinômio de grau
no intervalo
é exatamente
ou seja, a Regra do Ponto Médio é exata nesse caso.