Seja a função
obter a raiz contida no intervalo [8: 9] pelo método de Newton. Os cálculos devem ser realizados com 4 decimais com arredondamento e erro não superior a 0,001. Para tanto, observe as condições de convergência para escolha do melhor extremo (valor inicial),
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
e encontrar a raiz que está entre 8 e 9 usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar raízes de funções. Para começar, precisamos da função, da sua derivada e de um palpite inicial dentro do intervalo [8, 9].
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada é importante no Método de Newton porque a gente usa ela para melhorar nosso palpite da raiz. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, escolhemos um valor inicial
dentro do intervalo [8, 9]. Olhando a função, vamos testar
e
para ver onde está a raiz.
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que a raiz está entre 8 e 9. Vamos começar com
porque
é positivo e a função está aumentando.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular
:
Passo 5
Verificamos o erro:
Como o erro é maior que 0,001, precisamos de mais iterações. Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Novo erro:
Ainda não atingimos a precisão! Vamos para
:
Passo 7
Verificamos o erro novamente:
Agora o erro está dentro do limite aceitável. Parou a iteração!
Resposta
A raiz da função
no intervalo [8, 9] é aproximadamente
.