Seja a função f(x)=x^2-9,5 x+8,5 obter a raiz contida no intervalo [8: 9] pelo método de Newton. Os cálculos devem ser realizados com 4 decimais com arredondamento e erro não superior a 0,001. Para tanto, observe as condições de convergência para escolha do melhor extremo (valor inicial),

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação e encontrar a raiz que está entre 8 e 9 usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar raízes de funções. Para começar, precisamos da função, da sua derivada e de um palpite inicial dentro do intervalo [8, 9].

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função f'(x) = 2x - 9,5 . A derivada é importante no Método de Newton porque a gente usa ela para melhorar nosso palpite da raiz. A derivada de é:

Passo 3

Agora, escolhemos um valor inicial f(8) = 8^2 - 9,5 times 8 + 8,5 = 64 - 76 + 8,5 = -3,5 dentro do intervalo [8, 9]. Olhando a função, vamos testar f(9) = 9^2 - 9,5 times 9 + 8,5 = 81 - 85,5 + 8,5 = 4 e para ver onde está a raiz.
Como é negativo e é positivo, sabemos que a raiz está entre 8 e 9. Vamos começar com porque é positivo e a função está aumentando.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(9) = 4 :
f'(9) = 2 times 9 - 9,5 = 18 - 9,5 = 8,5
x1 = 9 - 48,5 approx 9 - 0,4706 = 8,5294

Passo 5

Verificamos o erro:
|x1 - x0| = |8,5294 - 9| = 0,4706 > 0,001
Como o erro é maior que 0,001, precisamos de mais iterações. Agora, vamos calcular f(8,5294) = (8,5294)^2 - 9,5 times 8,5294 + 8,5 approx 72,7456 - 81,0113 + 8,5 = 0,2343 :
f'(8,5294) = 2 times 8,5294 - 9,5 = 17,0588 - 9,5 = 7,5588
x2 = 8,5294 - 0,23437,5588 approx 8,5294 - 0,0310 = 8,4984

Passo 6

Novo erro:
|x2 - x1| = |8,4984 - 8,5294| = 0,0310 > 0,001
Ainda não atingimos a precisão! Vamos para f(8,4984) = (8,4984)^2 - 9,5 times 8,4984 + 8,5 approx 72,2379 - 80,7348 + 8,5 = -0,0 :
f'(8,4984) = 2 times 8,4984 - 9,5 = 16,9968 - 9,5 = 7,4968
x3 = 8,4984 - -0,07,4968 approx 8,4984

Passo 7

Verificamos o erro novamente:
|x3 - x2| = |8,4984 - 8,4984| = 0 <= 0,001
Agora o erro está dentro do limite aceitável. Parou a iteração!

Resposta

A raiz da função no intervalo [8, 9] é aproximadamente .

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