Considere as integrais:
(I) integrala^b integralc^d g(x, y) d x d y,
(II) integrala^b integralc^d integrale^f g(x, y, z) d x d y d z.
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
© Considere os seguintes valores: a=c=e=0 ; b=0.5, d=1.0, f=1.0 e as funções g(x, y)=y cdot e^x, g(x, y, z)=(x y)^z. Calcule valor numérico de cada integral usando as fórmulas anteriores, com passo h1=h2=h3= 0.5 , para o método dos trapézios e h1=0.25 e h2=h3=0.5, para o método ( 1 / 3 ) de Simpson.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é aproximar duas integrais — uma dupla e uma tripla — usando métodos numéricos (Trapézio composto e Simpson 1/3 composto).
Conteúdo: regra composta do trapézio e de Simpson em 2D e 3D.
O que vamos precisar:
  • Montar uma malha nos intervalos dados com os passos .
  • Saber quais são os pesos de cada ponto na regra do trapézio e na regra de Simpson.
  • Avaliar ou nessa malha e somar com os pesos.

Passo 2

Método dos Trapézios Composto em 2D e 3D
  1. Em 2D, para xi = a + i,h1, i=0,dots,nx, yj = c + j,h2, j=0,dots,ny, com T2D = h1,h2 sumi=0^nxsumj=0^ny wij,g(xi,yj), subdivisões em wij = 14,& iin0,nx,,jin0,ny(cantos), 12,&se só um de i,j for extremo (borda), 1,&caso contrário (interior) e T3D = h1,h2,h3 sumi=0^nxsumj=0^nysumk=0^nz wi^(x),wj^(y),wk^(z); g(xi,yj,zk), em , os nós são
onde e .
A aproximação é
com
óá
  1. Em 3D, para , fazemos igual em cada dimensão.
    Nós , passos .
    A regra é
onde em cada dimensão o peso é nos extremos e nos pontos internos (produto das três direções).

Passo 3

Aplicando Trapézio aos dados do item ©
2D:
  • T2Dapprox 0.3306 , T3Dapprox 0.1940 , .
  • , , .
  • .
Monta-se a malha 2×3 pontos, calcula , aplica os pesos e obtém
3D:
  • , , , todos com .
  • , .
  • .
Monta-se 2×3×3 pontos, aplica-se a regra (peso nos extremos, 1 no interior) e dá

Passo 4

Método de Simpson 1/3 Composto em 2D e 3D
  1. Em 1D a fórmula é

    (com par).
  2. Em 2D ou 3D a gente multiplica as regras: o peso de um nó é o produto dos pesos de Simpson em cada dimensão.
  • Em cada direção, peso = 1 nos extremos, 4 nos índices ímpares, 2 nos pares intermediários.
  • O fator geral em 2D é .
  • Em 3D é

Passo 5

Aplicando Simpson aos mesmos dados
2D:
  • Passos S2Dapprox 0.3244 (em S3Dapprox 0.1897 ), (em ), malha 3×3.
  • .
  • Calcula-se cada , multiplica pelos pesos nas direções e , soma tudo e multiplica por .
    Resultado:
3D:
  • Passos , , malha 3×3×3.
  • .
  • Monta-se os 27 valores de , usa-se peso 1/4/2/4/… em cada direção, soma e multiplica por .
    Resultado:

Resposta

2D – Trapézio composto:
2D – Simpson 1/3 composto:
3D – Trapézio composto:
3D – Simpson 1/3 composto:

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