Considere a integral abaixo:
Sabe-se que o valor exato da integral é
. Denotemos por
e
, o resultado da integral obtido, respectivamente, pelo método dos trapézios e
de Simpson. Seja
.
(d) Compare com o valor exato e conclua qual é o melhor resultado.
(d) Compare com o valor exato e conclua qual é o melhor resultado.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando o método dos trapézios e o método de 1/3 de Simpson com
Conteúdo: Integração Numérica (regras de Newton–Cotes).
O que vamos precisar:
1. Fórmula do trapézio composto para
2. Fórmula de Simpson 1/3 composto para os mesmos pontos.
3. Cálculo de
Passo 2
Aplicando o método dos trapézios compostos:
- Pontos:
, , ; - Valores da função:
- Fórmula do trapézio:
Substituindo:
Passo 3
Agora o método 1/3 de Simpson composto:
- Mesmos pontos e valores de
. - Fórmula de Simpson 1/3:
Substituindo:
$$I_s(0.5)=\frac{0.5}{3}\bigl[0+4\cdot0.20609+2.71828\bigr]=0.1666667\bigl[0.82436+2.71828\bigr]
=0.1666667\cdot3.54264\approx0.59044.$$
Passo 4
Comparando com o valor exato
:
- Erro do trapézio:
. - Erro de Simpson:
.
Como o erro de Simpson é muito menor, ele dá a melhor aproximação.
Resposta
O método de 1/3 de Simpson (
) é bem mais preciso que o trapézio (
) para
, pois sua diferença para o valor exato é menor.