Considere a integral abaixo:
I=integral0^1 x^3 e^x d x
Sabe-se que o valor exato da integral é I=0,5634363. Denotemos por It(h) e Is(h), o resultado da integral obtido, respectivamente, pelo método dos trapézios e 1 / 3 de Simpson. Seja h=0,5.
(d) Compare com o valor exato e conclua qual é o melhor resultado.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I=integral0^1x^3e^x,dx
usando o método dos trapézios e o método de 1/3 de Simpson com h=0,5, e depois comparar cada aproximação com o valor exato I=0,5634363.
Conteúdo: Integração Numérica (regras de Newton–Cotes).
O que vamos precisar:
1. Fórmula do trapézio composto para n=2 subintervalos de largura h=0,5.
2. Fórmula de Simpson 1/3 composto para os mesmos pontos.
3. Cálculo de f(x)=x^3e^x em x=0, 0,5 e 1.

Passo 2

Aplicando o método dos trapézios compostos:
  • Pontos: x0=0, x1=0,5, x2=1;
  • Valores da função: f(0)=0^3e^0=0, f(0.5)=0.5^3e^0.5=0.125cdot1.64872approx0.20609, f(1)=1^3e^1=eapprox2.71828
    - Fórmula do trapézio:
    It(h)=hl[tfracf(x0)+f(x2)2+f(x1)r]
Substituindo:
It(0.5)=0.5l[tfrac0+2.718282+0.20609r] =0.5l[1.35914+0.20609r] =0.5cdot1.56523 approx0.78262

Passo 3

Agora o método 1/3 de Simpson composto:
  • Mesmos pontos e valores de f.
  • Fórmula de Simpson 1/3: Is(h)=h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r]
    Substituindo:
    $$I_s(0.5)=\frac{0.5}{3}\bigl[0+4\cdot0.20609+2.71828\bigr]=0.1666667\bigl[0.82436+2.71828\bigr]
    =0.1666667\cdot3.54264\approx0.59044.$$

Passo 4

Comparando com o valor exato I=0.5634363:
  • Erro do trapézio: |0.78262-0.5634363|approx0.21918.
  • Erro de Simpson: |0.59044-0.5634363|approx0.02700.
    Como o erro de Simpson é muito menor, ele dá a melhor aproximação.

Resposta

O método de 1/3 de Simpson ( Isapprox0.59044) é bem mais preciso que o trapézio ( Itapprox0.78262) para h=0,5, pois sua diferença para o valor exato é menor.

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