Considere a integral
I=\int_{0}^{3} e^{-x / 2} d x
Aproxime o valor de I usando a Regra de Simpson Repetida com n=6 subintervalos (lembre que n deve ser par).
(a) Construa a malha e avalie a função nos pontos necessários.
(b) Aplique a fórmula da Regra de Simpson Repetida.
(c) Compare com o valor exato:
I=\left[-2 e^{-x / 2}\right]_{0}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I=\int_{0}^{3} e^{-x/2}\,dx
usando a Regra de Simpson repetida com n=6 subintervalos (lembrando que n é par). As três tarefas são:
(a) construir a malha e avaliar a função nos pontos necessários;
(b) aplicar a fórmula da Regra de Simpson repetida;
(c) comparar com o valor exato dado por
I=\left[-2 e^{-x/2}\right]_{0}^{3}.
Informações fornecidas e importantes:
  • Intervalo de integração: [0,3].
  • Função a integrar: f(x)=e^{-x/2}.
  • Número de subintervalos para Simpson: n=6 (par), portanto teremos n+1=7 pontos (nós) x_0,x_1,\dots,x_6.
  • A fórmula exata para I também foi dada (antiderivada -2e^{-x/2}), que nos permite calcular o valor exato para comparação.

Passo 2

Explicando a Regra de Simpson repetida (didaticamente, passo a passo):
  1. Dividimos o intervalo [a,b]=[0,3] em n subintervalos de mesmo comprimento h, onde
h=\frac{b-a}{n}.
Aqui a=0, b=3, n=6.
  1. Denotamos os pontos (nós) por
x_i = a + i h,\qquad i=0,1,\dots,n,
e f_i=f(x_i).
  1. A Regra composta de Simpson diz que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0 + f_n + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f_i\Big).í
Explicação das “pesos” 4 e 2: Simpson aproxima o integrando em pares de subintervalos por parábolas; quando se junta a contribuição de todos os pares, os pontos interiores alternam pesos 4 e 2 (os pontos com índice ímpar pertencem somente a um polinômio/parábola com maior peso, daí o 4; os pontos com índice par, exceto os extremos, ficam somados duas vezes por diferentes parábolas, daí o 2).
  1. Vamos calcular h, construir os x_i, avaliar f_i, aplicar a fórmula acima e comparar com o valor exato.

Passo 3

Construção da malha e avaliação da função (parte (a)):
Calcule h:
h=\frac{3-0}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.
Os nós são x_i=0 + i\cdot 0,5:
\begin{aligned} x_0&=0,\\\ x_1&=0,5,\\\ x_2&=1,0,\\\ x_3&=1,5,\\\ x_4&=2,0,\\\ x_5&=2,5,\\\ x_6&=3,0. \end{aligned}
Agora avalio f(x)=e^{-x/2} em cada nó. Vou mostrar a forma e dar a aproximação decimal (você pode memorizar os valores comuns ou usar uma calculadora em prova, mas aqui apresento valores com boa precisão):
\begin{aligned} f_0 &= f(0)=e^{0}=1,\\[4pt] f_1 &= f(0,5)=e^{-0,5/2}=e^{-0,25}\approx 0,7788007830714049,\\[4pt] f_2 &= f(1,0)=e^{-1/2}=e^{-0,5}\approx 0,6065306597126334,\\[4pt] f_3 &= f(1,5)=e^{-1,5/2}=e^{-0,75}\approx 0,4723665527410147,\\[4pt] f_4 &= f(2,0)=e^{-1}=e^{-1}\approx 0,36787944117144233,\\[4pt] f_5 &= f(2,5)=e^{-2,5/2}=e^{-1,25}\approx 0,2865047968601901,\\[4pt] f_6 &= f(3,0)=e^{-3/2}=e^{-1,5}\approx 0,22313016014842982. \end{aligned}
(Dica prática: repare que f_{i+1}=f_i\cdot e^{-h/2} com h=0,5 não é tão conveniente; é mais direto calcular e^{-x/2} em cada nó.)]

Passo 4

Aplicando a Regra de Simpson repetida (parte (b)):
Primeiro apliquemos a fórmula. Relembrando:
\int_{0}^{3} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0 + f_6 + 4(f_1+f_3+f_5) + 2(f_2+f_4)\Big).
Calcule as somas parciais:
Soma dos índices ímpares:
f_1+f_3+f_5 \approx 0,7788007830714049 + 0,4723665527410147 + 0,2865047968601901 = 1,5376721326726097.
Soma dos índices pares interiores:
f_2+f_4 \approx 0,6065306597126334 + 0,36787944117144233 = 0,9744101008840757.
Agora o bate-papo aritmético:
\begin{aligned} &f_0 + f_6 \approx 1 + 0,22313016014842982 = 1,2231301601484298,\\[4pt] &4(f_1+f_3+f_5) \approx 4\cdot 1,5376721326726097 = 6,150688530690439,\\[4pt] &2(f_2+f_4) \approx 2\cdot 0,9744101008840757 = 1,9488202017681514. \end{aligned}
Somando tudo dentro do colchete:
1,2231301601484298 + 6,150688530690439 + 1,9488202017681514 \approx 9,32263889260702.
Multiplicando por h/3 com h=0,5, temos h/3=\tfrac{0,5}{3}=\tfrac{1}{6}\approx 0,16666666666666666. Então a aproximação de Simpson é
I_{\text{Simpson}} \approx \frac{1}{6}\cdot 9,32263889260702 \approx 1,5537731487678367.
Arredondando para uma precisão razoável (por exemplo, 6 casas decimais) dá I_{\text{Simpson}}\approx 1,553773.]

Passo 5

Cálculo do valor exato e comparação (parte (c)):
A antiderivada fornecida é F(x)=-2e^{-x/2}. Então
I = \left[-2 e^{-x/2}\right]_{0}^{3} = -2e^{-3/2} - \big(-2e^{0}\big) = 2\big(1-e^{-3/2}\big).
Usando e^{-3/2}=e^{-1,5}\approx 0,22313016014842982,
I = 2\big(1-0,22313016014842982\big)=2\cdot 0,7768698398515702\approx 1,5537396797031404.
Agora a diferença (erro absoluto) entre a aproximação de Simpson e o valor exato:
\text{erro absoluto} = \big|I_{\text{Simpson}} - I\big| \approx \big|1,5537731487678367 - 1,5537396797031404\big| \approx 0,0000334690646963.
Em notação científica, isso é aproximadamente 3{,}35\times 10^{-5}. Ou seja, a Regra de Simpson com n=6 deu uma aproximação muito boa (erro na ordem de 10^{-5}).
Comentário rápido de amigo: foi pouco trabalho e a aproximação ficou excelente — Simpson é poderoso quando a função é suave como e^{-x/2}!

Resposta

(a) Nós x_i=0,0{,}5,1{,}0,1{,}5,2{,}0,2{,}5,3{,}0 com
f_0=1, f_1\approx 0,7788007830714049, f_2\approx 0,6065306597126334, f_3\approx 0,4723665527410147, f_4\approx 0,36787944117144233, f_5\approx 0,2865047968601901, f_6\approx 0,22313016014842982.
(b) Aproximação por Simpson com n=6:
I_{\text{Simpson}}\approx 1,5537731487678367 (≈ 1,553773).
(c) Valor exato e comparação:
I=2\big(1-e^{-3/2}\big)\approx 1,5537396797031404. Erro absoluto ≈ 0,0000334690646963 (≈ 3,35\times10^{-5}).

Exercícios relacionados