Aproxime o valor de I usando a Regra de Simpson Repetida com n=6 subintervalos (lembre que n deve ser par).
(a) Construa a malha e avalie a função nos pontos necessários.
(b) Aplique a fórmula da Regra de Simpson Repetida.
(c) Compare com o valor exato:
I=\left[-2 e^{-x / 2}\right]_{0}^{3}
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
I=\int_{0}^{3} e^{-x/2}\,dx
usando a Regra de Simpson repetida com n=6 subintervalos (lembrando que n é par). As três tarefas são:
(a) construir a malha e avaliar a função nos pontos necessários;
(b) aplicar a fórmula da Regra de Simpson repetida;
(c) comparar com o valor exato dado por
I=\left[-2 e^{-x/2}\right]_{0}^{3}.
Informações fornecidas e importantes:
Intervalo de integração: [0,3].
Função a integrar: f(x)=e^{-x/2}.
Número de subintervalos para Simpson: n=6 (par), portanto teremos n+1=7 pontos (nós) x_0,x_1,\dots,x_6.
A fórmula exata para I também foi dada (antiderivada -2e^{-x/2}), que nos permite calcular o valor exato para comparação.
Passo 2
Explicando a Regra de Simpson repetida (didaticamente, passo a passo):
Dividimos o intervalo [a,b]=[0,3] em n subintervalos de mesmo comprimento h, onde
Explicação das “pesos” 4 e 2: Simpson aproxima o integrando em pares de subintervalos por parábolas; quando se junta a contribuição de todos os pares, os pontos interiores alternam pesos 4 e 2 (os pontos com índice ímpar pertencem somente a um polinômio/parábola com maior peso, daí o 4; os pontos com índice par, exceto os extremos, ficam somados duas vezes por diferentes parábolas, daí o 2).
Vamos calcular h, construir os x_i, avaliar f_i, aplicar a fórmula acima e comparar com o valor exato.
Passo 3
Construção da malha e avaliação da função (parte (a)):
Agora avalio f(x)=e^{-x/2} em cada nó. Vou mostrar a forma e dar a aproximação decimal (você pode memorizar os valores comuns ou usar uma calculadora em prova, mas aqui apresento valores com boa precisão):
Em notação científica, isso é aproximadamente 3{,}35\times 10^{-5}. Ou seja, a Regra de Simpson com n=6 deu uma aproximação muito boa (erro na ordem de 10^{-5}).
Comentário rápido de amigo: foi pouco trabalho e a aproximação ficou excelente — Simpson é poderoso quando a função é suave como e^{-x/2}!
Resposta
(a) Nós x_i=0,0{,}5,1{,}0,1{,}5,2{,}0,2{,}5,3{,}0 com f_0=1, f_1\approx 0,7788007830714049, f_2\approx 0,6065306597126334, f_3\approx 0,4723665527410147, f_4\approx 0,36787944117144233, f_5\approx 0,2865047968601901, f_6\approx 0,22313016014842982.
(b) Aproximação por Simpson com n=6: I_{\text{Simpson}}\approx 1,5537731487678367 (≈ 1,553773).
(c) Valor exato e comparação: I=2\big(1-e^{-3/2}\big)\approx 1,5537396797031404. Erro absoluto ≈ 0,0000334690646963 (≈ 3,35\times10^{-5}).