Use a Regra 1/3 de Simpson (simples) para aproximar:
I=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{3}} d x
(a) Determine os pontos x_{0}, x_{1}, x_{2}.
(b) Calcule a aproximação S.
(c) Compare com o valor real aproximado I \approx 0.9109.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{3}}\,dx
usando a Regra de Simpson 1/3 simples e responde três itens:
(a) determinar os pontos x_{0},x_{1},x_{2};
(b) calcular a aproximação S pela Regra de Simpson 1/3 (caso simples);
(c) comparar a aproximação obtida com o valor real aproximado dado I\approx 0,9109.
Informações relevantes dadas no enunciado:
a=0,\quad b=1,\quad I\approx 0,9109.
Vamos usar a Regra de Simpson 1/3 simples (que usa exatamente três pontos: x_{0},x_{1},x_{2}).

Passo 2

Explicação didática da Regra de Simpson 1/3 simples e das variáveis que vamos usar.
A Regra de Simpson 1/3 simples aproxima a integral \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx usando um polinômio quadrático que interpola f em três pontos equiespaçados x_{0}=a, x_{1}=a+h, x_{2}=a+2h=b. O passo (largura) é
h=\frac{b-a}{2}.
A fórmula da Regra de Simpson 1/3 simples é
S=\frac{h}{3}\bigl(f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr).
O motivo da fórmula (intuitivamente) é que integra-se o polinômio quadrático interpolador no intervalo [a,b]; os coeficientes 1,4,1 surgem da integração exata desse polinômio. Aqui:
  • f(x)=\dfrac{1}{1+x^{3}} é a função integranda;
  • a=0, b=1;
  • vamos calcular h, os pontos x_{0},x_{1},x_{2}, os valores f(x_{i}), e por fim S pela fórmula acima.

Passo 3

Calcular h e os pontos x_{0},x_{1},x_{2}.
Usando \displaystyle h=\frac{b-a}{2} com a=0 e b=1,
h=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}=0,5.
Portanto os pontos são
x_{0}=a=0,\quad x_{1}=a+h=0+0,5=0,5,\quad x_{2}=a+2h=0+1=1.

Passo 4

Calcular os valores de f(x)=\dfrac{1}{1+x^{3}} em cada ponto.
  • Em x_{0}=0:
f(x_{0})=f(0)=\frac{1}{1+0^{3}}=\frac{1}{1}=1.
  • Em x_{1}=0,5: note que (0,5)^{3}=0,125. Então
f(x_{1})=f(0,5)=\frac{1}{1+0,125}=\frac{1}{1,125}.
Como 1,125=\dfrac{9}{8}, temos \dfrac{1}{1,125}=\dfrac{8}{9}. Logo
f(x_{1})=\frac{8}{9}\approx 0,888888\ldots
  • Em x_{2}=1:
f(x_{2})=f(1)=\frac{1}{1+1^{3}}=\frac{1}{2}=0,5.
Resumo dos valores:
f(x_{0})=1,\quad f(x_{1})=\frac{8}{9},\quad f(x_{2})=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Simpson e fazer as contas passo a passo.
A fórmula é
S=\frac{h}{3}\bigl(f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr).
Substituindo h=0,5 e os valores de f:
S=\frac{0,5}{3}\Bigl(1+4\cdot\frac{8}{9}+\frac{1}{2}\Bigr).
Simplificamos \dfrac{0,5}{3}=\dfrac{1}{6}, e 4\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{32}{9}. Assim
S=\frac{1}{6}\Bigl(1+\frac{32}{9}+\frac{1}{2}\Bigr).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (18) para somar:
1=\frac{18}{18},\quad \frac{32}{9}=\frac{64}{18},\quad \frac{1}{2}=\frac{9}{18}.
Somando:
1+\frac{32}{9}+\frac{1}{2}=\frac{18+64+9}{18}=\frac{91}{18}.
Portanto
S=\frac{1}{6}\cdot\frac{91}{18}=\frac{91}{108}.
Como decimal,
S=\frac{91}{108}\approx 0,84259259.

Passo 6

Comparação com o valor real aproximado I\approx 0,9109 e interpretação.
Calcule a diferença (erro absoluto):
I-S\approx 0,9109-0,84259259\approx 0,06830741.
Percentual de erro relativo (aproximado) em relação a I:
\frac{I-S}{I}\times 100\%\approx\frac{0,06830741}{0,9109}\times 100\%\approx 7,5\%.
Observações intuitivas: a aproximação S ficou menor que I (ou seja, Simpson com apenas n=2 subintervalos aqui subestima). A Regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3, mas a função 1/(1+x^{3}) não é polinomial; aumentar o número de subintervalos (usar Simpson composto) reduziria o erro.

Resposta

(a) x_{0}=0,\; x_{1}=0,5,\; x_{2}=1
(b) S=\dfrac{91}{108}\approx 0,84259259
(c) I-S\approx 0,06830741 \approx 7,5\% (a aproximação S subestima o valor I\approx 0,9109)

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