Use a Regra 1/3 de Simpson (simples) para aproximar:
(a) Determine os pontos
.
(b) Calcule a aproximação
.
(c) Compare com o valor real aproximado
.
(b) Calcule a aproximação
(c) Compare com o valor real aproximado
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a Regra de Simpson 1/3 simples e responde três itens:
(a) determinar os pontos ;
(b) calcular a aproximação pela Regra de Simpson 1/3 (caso simples);
(c) comparar a aproximação obtida com o valor real aproximado dado .
(a) determinar os pontos
(b) calcular a aproximação
(c) comparar a aproximação obtida com o valor real aproximado dado
Informações relevantes dadas no enunciado:
Vamos usar a Regra de Simpson 1/3 simples (que usa exatamente três pontos:
).
Passo 2
Explicação didática da Regra de Simpson 1/3 simples e das variáveis que vamos usar.
A Regra de Simpson 1/3 simples aproxima a integral
usando um polinômio quadrático que interpola
em três pontos equiespaçados
,
,
. O passo (largura) é
A fórmula da Regra de Simpson 1/3 simples é
O motivo da fórmula (intuitivamente) é que integra-se o polinômio quadrático interpolador no intervalo
; os coeficientes
surgem da integração exata desse polinômio. Aqui:
-
é a função integranda; -
, ; - vamos calcular
, os pontos , os valores , e por fim pela fórmula acima.
Passo 3
Calcular
e os pontos
.
Usando
com
e
,
Portanto os pontos são
Passo 4
Calcular os valores de
em cada ponto.
- Em
:
- Em
: note que . Então
Como
, temos
. Logo
- Em
:
Resumo dos valores:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Simpson e fazer as contas passo a passo.
A fórmula é
Substituindo
e os valores de
:
Simplificamos
, e
. Assim
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (18) para somar:
Somando:
Portanto
Como decimal,
Passo 6
Comparação com o valor real aproximado
e interpretação.
Calcule a diferença (erro absoluto):
Percentual de erro relativo (aproximado) em relação a
:
Observações intuitivas: a aproximação
ficou menor que
(ou seja, Simpson com apenas
subintervalos aqui subestima). A Regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3, mas a função
não é polinomial; aumentar o número de subintervalos (usar Simpson composto) reduziria o erro.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(a aproximação
subestima o valor
)