Considere a integral
I=\int_{0}^{2} \cos \left(x^{2}\right) d x
Use a Regra dos Trapézios Repetida com n=6 subintervalos.
(a) Calcule a aproximação T_{R}.
(b) Compare com o valor obtido numericamente (use calculadora): I \approx 1.10365.

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime a integral
I=\int_{0}^{2}\cos\left(x^{2}\right)\,dx
usando a Regra dos Trapézios Repetida com n=6 subintervalos, e depois compare essa aproximação com o valor numérico dado I\approx 1,10365. Informações fornecidas e o que devemos entregar:
  • Intervalo: [0,2].
  • Número de subintervalos: n=6.
  • Pedidos:
    (a) calcular a aproximação T_{R} pela Regra dos Trapézios repetida;
    (b) comparar T_{R} com I\approx 1,10365 (calcular erro absoluto e percentual).

Passo 2

O que é a Regra dos Trapézios Repetida e a fórmula que vamos usar. \n
Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais com passo
h=\frac{b-a}{n},
os nós são x_i=a+i h para i=0,\dots,n. A Regra dos Trapézios repetida (Trapezoidal composite) dá:
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Aqui f(x)=\cos\!\left(x^{2}\right). Vou aplicar essa fórmula com a=0, b=2 e n=6. Explico cada termo: h é a largura de cada subintervalo; \frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} pondera as extremidades (cada extremidade conta meia vez) e a soma interna soma os valores nos nós internos.

Passo 3

Calcular h e os nós x_i.
h=\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}.
Os nós são (uso frações exatas e decimais quando necessário):
\begin{aligned} x_0&=0,\\\ x_1&=\tfrac{1}{3}\approx 0,3333333333,\\\ x_2&=\tfrac{2}{3}\approx 0,6666666667,\\\ x_3&=1,\\\ x_4&=\tfrac{4}{3}\approx 1,3333333333,\\\ x_5&=\tfrac{5}{3}\approx 1,6666666667,\\\ x_6&=2. \end{aligned}

Passo 4

Calcular f(x_i)=\cos\!\left(x_i^{2}\right) em cada nó. Vou mostrar x_i^{2} e o valor numérico de \cos.
\begin{aligned} x_0^{2}&=0,\quad &f(x_0)&=\cos(0)=1.\\[4pt] x_1^{2}&=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9}\approx 0,1111111111,\quad &f(x_1)&=\cos\!\left(\tfrac{1}{9}\right)\approx 0{,}993833508.\\[4pt] x_2^{2}&=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9}\approx 0,4444444444,\quad &f(x_2)&=\cos\!\left(\tfrac{4}{9}\right)\approx 0{,}902849485.\\[4pt] x_3^{2}&=1,\quad &f(x_3)&=\cos(1)\approx 0{,}540302306.\\[4pt] x_4^{2}&=\left(\tfrac{4}{3}\right)^{2}=\tfrac{16}{9}\approx 1,7777777778,\quad &f(x_4)&=\cos\!\left(\tfrac{16}{9}\right)\approx -0{,}205506528.\\[4pt] x_5^{2}&=\left(\tfrac{5}{3}\right)^{2}=\tfrac{25}{9}\approx 2,7777777778,\quad &f(x_5)&=\cos\!\left(\tfrac{25}{9}\right)\approx -0{,}934551350.\\[4pt] x_6^{2}&=4,\quad &f(x_6)&=\cos(4)\approx -0{,}653643621. \end{aligned}
Observação: os valores numéricos de \cos(\cdot) foram obtidos com calculadora e arredondados a 9 casa decimais quando pertinente.]

Passo 5

Somar os termos necessários para a fórmula do trapézio. Primeiro a soma dos nós internos:
\sum_{i=1}^{5} f(x_i) = f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)+f(x_5).
Substituindo os números:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{5} f(x_i) &\approx 0{,}993833508 + 0{,}902849485 + 0{,}540302306 + (-0{,}205506528) + (-0{,}934551350)\\\ &\approx 1{,}296927421. \end{aligned}
Agora a média das extremidades:
\frac{f(x_0)+f(x_6)}{2}=\frac{1 + (-0{,}653643621)}{2}\approx 0{,}1731781896.

Passo 6

Aplicar a fórmula do Trapézio:
T_6 = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_6)}{2} + \sum_{i=1}^{5} f(x_i)\right).
Substituindo h=\tfrac{1}{3} e os somatórios:
T_6 \approx \frac{1}{3}\left(0{,}1731781896 + 1{,}296927421\right) = \frac{1}{3}\cdot 1{,}4701056106 \approx 0{,}4900352035.
Arredondando, posso escrever T_{R}\approx 0{,}49003520.

Passo 7

Comparação com o valor numérico dado I\approx 1{,}10365. Calculo o erro absoluto e o erro percentual:
\text{erro absoluto}=|I-T_6|\approx |1{,}10365-0{,}4900352035|\approx 0{,}6136147965.
Erro percentual relativo (em porcentagem) em relação a I:
\text{erro percentual}=\frac{|I-T_6|}{|I|}\times 100\%\approx \frac{0{,}6136147965}{1{,}10365}\times 100\%\approx 55{,}60\%.
Interpretação curta: a aproximação com n=6 ficou bastante distante do valor numérico fornecido (erro absoluto \approx 0{,}6136, aproximadamente 55{,}6\% de erro relativo).

Resposta

(a) T_{R}\approx 0{,}49003520
(b) \text{erro absoluto}\approx 0{,}61361480, \text{erro percentual}\approx 55{,}60\%

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