Resolva cada um dos problemas-enigma a seguir:
Mahaviracarya, 850. Havia 63 pencas de banana iguais junto a 7 bananas. Elas foram divididas igualmente entre 23 viajantes. Qual é o número de bananas em cada penca?
[Sugestão: Considere a equação diofantina
.]
Mahaviracarya, 850. Havia 63 pencas de banana iguais junto a 7 bananas. Elas foram divididas igualmente entre 23 viajantes. Qual é o número de bananas em cada penca?
[Sugestão: Considere a equação diofantina
Passo 1
Beleza, então vamos lá: o enunciado diz que tem 63 pencas de banana, todas com o mesmo número de bananas (vamos chamar esse número de
), mais 7 bananas soltas. No total, todas essas bananas são divididas igualmente entre 23 viajantes, e cada viajante recebe
bananas.
Conteúdo: equação diofantina linear e congruência modular.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equação diofantina linear e congruência modular.
O que vamos precisar:
- Montar a equação
. - Transformar isso numa congruência pra achar
(porque queremos que seja múltiplo de 23). - Usar o algoritmo de Euclides estendido pra achar o inverso modular e resolver a congruência.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a condição de divisão exata como congruência módulo 23:
.
Isso equivale a
Isso equivale a
Agora simplificamos
e
módulo 23:
-
. -
.
Logo a congruência vira
Passo 3
Para resolver
, precisamos achar o inverso de
módulo 23, ou seja, um número
tal que
Como
, existe solução. Usamos o algoritmo de Euclides estendido:
23 = 1·17 + 6
17 = 2·6 + 5
6 = 1·5 + 1
5 = 5·1 + 0
17 = 2·6 + 5
6 = 1·5 + 1
5 = 5·1 + 0
Agora voltamos substituindo para expressar 1 como combinação de 23 e 17:
1 = 6 − 1·5
= 6 − 1·(17 − 2·6) = 3·6 − 1·17
= 3·(23 − 1·17) − 1·17 = 3·23 − 4·17
= 6 − 1·(17 − 2·6) = 3·6 − 1·17
= 3·(23 − 1·17) − 1·17 = 3·23 − 4·17
Logo
Isso diz que
é o inverso de
módulo 23. Como queremos um número entre 0 e 22, somamos 23:
.
Então o inverso de
é
.
Passo 4
Agora multiplicamos a congruência
pelo inverso 19:
Calculando
.
Agora reduzimos módulo 23:
Agora reduzimos módulo 23:
ou seja,
Portanto
Portanto
Resposta
Cada penca tem 5 bananas.