Considere a integral
Estime
por quadratura Gaussiana com 2 pontos,
Estime
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra estimar
usando quadratura Gaussiana de 2 pontos.
O conteúdo aqui é “Quadratura de Gauss–Legendre” e, pra fazer isso, a gente vai precisar:
O conteúdo aqui é “Quadratura de Gauss–Legendre” e, pra fazer isso, a gente vai precisar:
- fazer a mudança de variável que leva o intervalo
pra , - usar os pontos e pesos da regra de 2 nós,
- avaliar
nesses pontos transformados e montar a soma.
Passo 2
Teoria rápida: na quadratura de Gauss–Legendre de
pontos a gente aproxime
onde
são os nós e pesos no intervalo padrão
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para
a regra de Gauss–Legendre em
tem:
O ponto médio é
e o fator
.
Então os -valores no nosso intervalo são
Então os
Passo 4
Vamos calcular:
x_1 = 1.5 + 0.5\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = 1.5 - \tfrac{0.5}{\sqrt{3}}\approx 1.2113,
x_2 = 1.5 + \tfrac{0.5}{\sqrt{3}}\approx 1.7887.
Agora avaliaremos :
x_1 = 1.5 + 0.5\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = 1.5 - \tfrac{0.5}{\sqrt{3}}\approx 1.2113,
x_2 = 1.5 + \tfrac{0.5}{\sqrt{3}}\approx 1.7887.
Agora avaliaremos
Substituindo na fórmula: