Considere a integral I=integral1^2 e^-x^2 d x
Estime I por quadratura Gaussiana com 2 pontos,

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra estimar
I = integral1^2 e^-x^2 ,dx
usando quadratura Gaussiana de 2 pontos.
O conteúdo aqui é “Quadratura de Gauss–Legendre” e, pra fazer isso, a gente vai precisar:
  1. fazer a mudança de variável que leva o intervalo pra ,
  2. usar os pontos e pesos da regra de 2 nós,
  3. avaliar nesses pontos transformados e montar a soma.

Passo 2

Teoria rápida: na quadratura de Gauss–Legendre de integrala^b f(x),dx approx b-a2 sumi=1^n wi,fl(a+b2 + b-a2 xir) pontos a gente aproxime
onde são os nós e pesos no intervalo padrão . No nosso caso, , e .

Passo 3

Para x1 = -tfrac1raiz3, x2 = +tfrac1raiz3, w1 = w2 = 1 a regra de Gauss–Legendre em Xi = 1.5 + 0.5,xi, i=1,2 tem:
O ponto médio é e o fator .
Então os -valores no nosso intervalo são

Passo 4

Vamos calcular:
x_1 = 1.5 + 0.5\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = 1.5 - \tfrac{0.5}{\sqrt{3}}\approx 1.2113,
x_2 = 1.5 + \tfrac{0.5}{\sqrt{3}}\approx 1.7887.
Agora avaliaremos f(x1) = e^-1.2113^2approx e^-1.4673approx 0.2305,:
f(x2) = e^-1.7887^2approx e^-3.1994approx 0.0412
I approx 0.5 l[1cdot f(x1) + 1cdot f(x2)r] = 0.5,(0.2305 + 0.0412) = 0.5 times 0.2717 approx 0.13585
Substituindo na fórmula:

Resposta

I approx 0.1359

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