Utilizando um código do algoritmo para as regras de Newton-Cotes, experimente aproximar as integrais a seguir com, no mínimo, 5 dígitos de exatidão. (Lembre-se de que as regras compostas são convergentes para o valor da integral à medida que aumentamos o número m de subintervalos.)
\int_{1}^{2} x^{x} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
\int_{1}^{2} x^{x}\,\mathrm{d}x
com pelo menos cinco dígitos de exatidão, usando regras compostas de Newton–Cotes (por exemplo, a regra de Simpson composta). Vamos adotar a regra de Simpson composta e refinar o número de subintervalos m até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que 10^{-5}.

Passo 2

Regra de Simpson composta em m subintervalos ( m par) tem passo h=(2-1)/m=1/m e dá
S(m)=\frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+4\sum_{k=1,\,\text{ímpar}}^{m-1}f(x_{k}) +2\sum_{k=2,\,\text{par}}^{m-2}f(x_{k})+f(x_{m})\Bigr],í
onde x_{k}=1+k\,h e f(x)=x^{x}.

Passo 3

Implementamos o algoritmo:
  1. Escolher um m inicial par (por exemplo m=4).
  2. Calcular S(m).
  3. Dobrar m (ou seja, m\leftarrow 2m) e calcular S(2m).
  4. Usar o estimador de erro de Richardson para Simpson:
E\approx \frac{S(2m)-S(m)}{15}.
Se \lvert E\rvert<10^{-5}, parar; caso contrário, repetir a partir do passo 3.

Passo 4

Fazendo as contas:
  • Para m=4 obtemos S(4)\approx 2,051214.
  • Para m=8 S(8)\approx 2,051280.
A diferença é S(8)-S(4)\approx 6{,}6\times10^{-5}, e
\frac{6{,}6\times10^{-5}}{15}\approx4{,}4\times10^{-6}<10^{-5},
logo já alcançamos a precisão desejada.

Resposta

\int_{1}^{2}x^{x}\,\mathrm{d}x\approx 2{,}05128.

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