Considere a integral
Estime o valor da integral utilizando a Quadratura Gaussiana com dois pontos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra gente estimar o valor da integral
usando a Quadratura Gaussiana com dois pontos. Ou seja, a gente vai usar uma técnica de integração numérica chamada Quadratura Gaussiana para aproximar esse valor. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os pontos e pesos dessa quadratura e como aplicá-los no nosso intervalo, que é de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Quadratura Gaussiana é uma maneira eficiente de calcular integrais aproximadas usando pontos específicos (chamados de nós) e pesos associados a eles. No caso da Quadratura Gaussiana de dois pontos, a gente tem dois nós e dois pesos que são escolhidos de modo a dar a melhor aproximação possível para polinômios de grau até 3.
Os nós e pesos padrão para a Quadratura Gaussiana de dois pontos no intervalo
são:
Passo 3
Agora, como a nossa integral está no intervalo de 0 a 1 e não de
, precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar os nós e pesos ao novo intervalo. A fórmula geral para mudar o intervalo de
para
é:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo:
Isso vai nos dar os novos nós no intervalo
.
Passo 4
Vamos calcular os novos nós
e
:
Passo 5
Os pesos também precisam ser ajustados pelo fator
. No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a fórmula da Quadratura Gaussiana:
Onde
. Vamos calcular
e
:
Passo 7
Agora, multiplicamos cada
pelo seu peso correspondente e somamos:
Resposta
Portanto, a estimativa da integral usando a Quadratura Gaussiana com dois pontos é aproximadamente
.