Considere a integral
integral0^1 sin (x)x+1 d x
Estime o valor da integral utilizando a Quadratura Gaussiana com dois pontos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra gente estimar o valor da integral
integral0^1 sin (x)x+1 , dx
usando a Quadratura Gaussiana com dois pontos. Ou seja, a gente vai usar uma técnica de integração numérica chamada Quadratura Gaussiana para aproximar esse valor. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os pontos e pesos dessa quadratura e como aplicá-los no nosso intervalo, que é de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Quadratura Gaussiana é uma maneira eficiente de calcular integrais aproximadas usando pontos específicos (chamados de nós) e pesos associados a eles. No caso da Quadratura Gaussiana de dois pontos, a gente tem dois nós e dois pesos que são escolhidos de modo a dar a melhor aproximação possível para polinômios de grau até 3.
Os nós e pesos padrão para a Quadratura Gaussiana de dois pontos no intervalo [-1, 1] são:
x1 = -1raiz3, x2 = 1raiz3
w1 = 1, w2 = 1

Passo 3

Agora, como a nossa integral está no intervalo de 0 a 1 e não de [-1, 1], precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar os nós e pesos ao novo intervalo. A fórmula geral para mudar o intervalo de [-1, 1] para [a, b] é:
x = b - a2 t + a + b2
No nosso caso, a = 0 e b = 1. Então, substituindo:
x = 1 - 02 t + 0 + 12 = t2 + 12
Isso vai nos dar os novos nós no intervalo [0, 1].

Passo 4

Vamos calcular os novos nós x1 e x2:
x1 = 12 (-1raiz3) + 12 = 12 - 12raiz3 approx 0.2113
x2 = 12 (1raiz3) + 12 = 12 + 12raiz3 approx 0.7887

Passo 5

Os pesos também precisam ser ajustados pelo fator b - a2. No nosso caso, b - a = 1, então:
w1 = w2 = 1 times 12 = 0.5

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula da Quadratura Gaussiana:
integral0^1 sin (x)x+1 , dx approx w1 f(x1) + w2 f(x2)
Onde f(x) = sin(x)x + 1. Vamos calcular f(x1) e f(x2):
f(x1) = sin(0.2113)0.2113 + 1 approx 0.21071.2113 approx 0.1739
f(x2) = sin(0.7887)0.7887 + 1 approx 0.70901.7887 approx 0.3960

Passo 7

Agora, multiplicamos cada f(x) pelo seu peso correspondente e somamos:
0.5 times 0.1739 + 0.5 times 0.3960 = 0.08695 + 0.1980 = 0.28495

Resposta

Portanto, a estimativa da integral usando a Quadratura Gaussiana com dois pontos é aproximadamente 0.285.

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