Considere a integral integral0^1 e^-x d x.
Estime o valor da integral utilizando a regra de Simpson usando 4 subintervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 e^-x , dx usando a Regra de Simpson com 4 subintervalos. A Regra de Simpson é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas, especialmente útil quando não conseguimos resolver a integral de forma exata. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo de integração em subintervalos iguais e aplicar a fórmula da Regra de Simpson.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h. A fórmula para calcular h é:
h = b - an
Onde:
  • a = 0 (limite inferior)
  • b = 1 (limite superior)
  • n = 4 (número de subintervalos)
Então,
h = 1 - 04 = 0,25

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de avaliação xi dentro do intervalo [0,1]. Esses pontos são calculados acrescentando múltiplos de h ao limite inferior a:
x0 = 0 x1 = 0 + h = 0,25 x2 = 0 + 2h = 0,5 x3 = 0 + 3h = 0,75 x4 = 0 + 4h = 1

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os valores da função f(x) = e^-x em cada um desses pontos:
f(x0) = e^0 = 1 f(x1) = e^-0,25 approx 0,7788 f(x2) = e^-0,5 approx 0,6065 f(x3) = e^-0,75 approx 0,4724 f(x4) = e^-1 approx 0,3679

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da Regra de Simpson para n = 4 subintervalos:
Integral approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores encontrados:
Integral approx 0,253 [ 1 + 4(0,7788) + 2(0,6065) + 4(0,4724) + 0,3679 ]

Passo 6

Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
1 + 4(0,7788) + 2(0,6065) + 4(0,4724) + 0,3679 = 1 + 3,1152 + 1,2130 + 1,8896 + 0,3679 approx 7,5857
Agora, multiplicamos por 0,253:
Integral approx 0,253 times 7,5857 approx 0,0833 times 7,5857 approx 0,6321

Resposta

O valor estimado da integral integral0^1 e^-x , dx utilizando a Regra de Simpson com 4 subintervalos é aproximadamente 0,6321.

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