A equação :
possui raízes em
. Entretanto se utilizarmos o Método de Newton-Raphson com
, alcança-se outra raiz em +4 . O que poderia explicar isso?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos na mão e o que vamos usar:
• Enunciado: A equação
• Enunciado: A equação
já tem duas raízes conhecidas,
e
. Mas, se fizermos o Método de Newton-Raphson com chute inicial
, o método converge para
. A pergunta é: “Por que isso rola?”
• Matéria envolvida:
- Fatoração de polinômio (divisão sintética ou normal).
- Método de Newton-Raphson e conceito de multiplicidade de raízes.
- Noções de “bacia de atração” de cada raiz.
• O que precisamos:
- Mostrar que
é de fato raiz (teste direto em ). - Fatorar
completamente para ver todas as raízes e suas multiplicidades. - Verificar o comportamento de
nas raízes, especialmente em , que será múltipla. - Discutir como a escolha de
faz o método cair na “bacia de atração” de 4 em vez das outras raízes.
Passo 2
Confirmando que
é raiz: basta substituir em
:
Então,
também zera o polinômio. Agora, vamos fatorar
dividindo por
(divisão sintética):
Coeficientes: 1 | -7 | 12 | 4 | -16
Chute :
1 → multiplica 4 = 4 → soma com -7 = -3
-3 → multiplica 4 = -12 → soma com 12 = 0
0 → multiplica 4 = 0 → soma com 4 = 4
4 → multiplica 4 = 16 → soma com -16 = 0
Chute
1 → multiplica 4 = 4 → soma com -7 = -3
-3 → multiplica 4 = -12 → soma com 12 = 0
0 → multiplica 4 = 0 → soma com 4 = 4
4 → multiplica 4 = 16 → soma com -16 = 0
Resto = 0 e o quociente é
Passo 3
Continuando a fatoração, vemos que
é raiz desse cúbico (já dado): dividindo
por
dá, na sintética:
Coef.: 1 | -3 | 0 | 4
Chute = -1:
1 →×(-1)= -1 → soma -3-1= -4
-4→×(-1)= 4 → soma 0+4= 4
4→×(-1)= -4 → soma 4-4= 0
Chute = -1:
1 →×(-1)= -1 → soma -3-1= -4
-4→×(-1)= 4 → soma 0+4= 4
4→×(-1)= -4 → soma 4-4= 0
Quociente:
, que é
.
Logo,
As raízes são
Passo 4
Agora fala o Newton-Raphson:
Note algo importante em
:
Quando a derivada na raiz é zero (ou muito pequena), o Newton fica “lerdo” ou instável—essa é a característica de raiz múltipla. Na prática, isso reduz a bacia de atração de
, e o chute
acaba caindo na bacia de atração de
.
Em resumo:
- Há quatro raízes reais (contando que 2 é dupla):
. - Newton-Raphson atrai pontos para uma raiz dependendo de onde você começa (bacia de atração).
- A raiz
, por ser dupla, tem derivada zero lá, dificultando a convergência pra ela. - Assim, partindo de
, o método “vaza” até , que tem bacia de atração mais estável.
Resposta
O método converge para
porque o polinômio na verdade tem raízes em
,
(dupla) e
, e a raiz
é dupla (faz
). A derivada zero em
deixa a bacia de atração de
muito estreita, então um chute inicial em
cai na bacia de
em vez de
ou de
.