A equação : x^4-7 x^3+12 x^2+4 x-16=0 possui raízes em -1 e+2. Entretanto se utilizarmos o Método de Newton-Raphson com xo=-0.1, alcança-se outra raiz em +4 . O que poderia explicar isso?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos na mão e o que vamos usar:
• Enunciado: A equação
f(x)=x^4 -7x^3 +12x^2 +4x -16 = 0
já tem duas raízes conhecidas, e . Mas, se fizermos o Método de Newton-Raphson com chute inicial , o método converge para . A pergunta é: “Por que isso rola?”
• Matéria envolvida:
  1. Fatoração de polinômio (divisão sintética ou normal).
  2. Método de Newton-Raphson e conceito de multiplicidade de raízes.
  3. Noções de “bacia de atração” de cada raiz.
• O que precisamos:
  • Mostrar que é de fato raiz (teste direto em ).
  • Fatorar completamente para ver todas as raízes e suas multiplicidades.
  • Verificar o comportamento de nas raízes, especialmente em , que será múltipla.
  • Discutir como a escolha de faz o método cair na “bacia de atração” de 4 em vez das outras raízes.

Passo 2

Confirmando que f(4)=4^4-7cdot4^3+12cdot4^2+4cdot4-16 =256-448+192+16-16=0 é raiz: basta substituir em x^3 -3x^2 +0x +4 :
Então, também zera o polinômio. Agora, vamos fatorar dividindo por (divisão sintética):
Coeficientes: 1 | -7 | 12 | 4 | -16
Chute :
1 → multiplica 4 = 4 → soma com -7 = -3
-3 → multiplica 4 = -12 → soma com 12 = 0
0 → multiplica 4 = 0 → soma com 4 = 4
4 → multiplica 4 = 16 → soma com -16 = 0
Resto = 0 e o quociente é

Passo 3

Continuando a fatoração, vemos que f(x)=(x-4),(x+1),(x-2)^2 é raiz desse cúbico (já dado): dividindo x=-1, x=4, x=2 (mu por dá, na sintética:
Coef.: 1 | -3 | 0 | 4
Chute = -1:
1 →×(-1)= -1 → soma -3-1= -4
-4→×(-1)= 4 → soma 0+4= 4
4→×(-1)= -4 → soma 4-4= 0
Quociente: , que é .
Logo,
As raízes são

Passo 4

Agora fala o Newton-Raphson:
xn+1=xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=4x^3-21x^2+24x+4
Note algo importante em f'(2)=4cdot2^3-21cdot2^2+24cdot2+4 =32-84+48+4=0 :
Quando a derivada na raiz é zero (ou muito pequena), o Newton fica “lerdo” ou instável—essa é a característica de raiz múltipla. Na prática, isso reduz a bacia de atração de , e o chute acaba caindo na bacia de atração de .
Em resumo:
  1. Há quatro raízes reais (contando que 2 é dupla): .
  2. Newton-Raphson atrai pontos para uma raiz dependendo de onde você começa (bacia de atração).
  3. A raiz , por ser dupla, tem derivada zero lá, dificultando a convergência pra ela.
  4. Assim, partindo de , o método “vaza” até , que tem bacia de atração mais estável.

Resposta

O método converge para porque o polinômio na verdade tem raízes em , (dupla) e , e a raiz é dupla (faz ). A derivada zero em deixa a bacia de atração de muito estreita, então um chute inicial em cai na bacia de em vez de ou de .

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