Considere a integral I=integral1^2 e^-x^2 d x
© Sabendo que o valor exato de I, usando 5 casas decimais, é 0.74682 , pede-se:
(c.1) Compare as estimativas obtidas em (a) e (b),
(c.2) Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisão para a estimativa obtiva para I em (b)?

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente compare duas estimativas da integral
I=integral0^1e^-x^2,dx
(como o valor dado 0,74682 bate com e não com ).
Nas partes (a) e (b) a gente aplicou as regras numéricas com subintervalos em :
• (a) Regra dos trapézios com .
• (b) Regra de Simpson com .
Para resolver (c.1) a gente vai comparar o erro de cada uma com o valor “exato” 0,74682.
Para (c.2) vamos usar a fórmula do erro da regra dos trapézios

e achar que deixe esse erro menor que o erro da parte (b).

Passo 2

Calcular as estimativas com f(x)=e^-x^2nos nós xi=0,0,25,0,5,0,75,1, T4=h2l[f0+2(f1+f2+f3)+f4r] =0,125l(1+2(0,9394+0,7788+0,5698)+0,3679r) approx0,74296 e
S4=h3l[f0+4f1+2f2+4f3+f4r] =0,08333l(1+4cdot0,9394+2cdot0,7788+4cdot0,5698+0,3679r) approx0,74685 ó
Tabelinha rápida:
,
,
,
,
.
Regra dos trapézios:
Regra de Simpson:

Passo 3

Agora o “exato” é |T4-0,74682|approx|0,74296-0,74682|=0,00386, |S4-0,74682|approx|0,74685-0,74682|=0,00003 . Vamos aos erros absolutos:
Comparando:
– A regra de Simpson ficou bem mais próxima (erro )
– A dos trapézios ficou com erro .

Passo 4

Queremos saber quantos pontos (ou seja, quantos subintervalos |ET|<= (b-a)^312,n^2,max[0,1]|f''(x)| ) a regra dos trapézios precisaria para ter erro 1^312,n^2,2 <= 0,00003 Longrightarrow 16,n^2<=0,00003 Longrightarrow n^2>=16cdot0,00003approx5555,6 Longrightarrow n>=raiz5555,6approx74,5 .
A fórmula de erro é
Aqui . Em o maior valor absoluto é em : .
Então
Como tem que ser inteiro e pelo menos esse valor, escolhemos subintervalos.
Isso dá pontos ao todo.

Resposta

São necessários 76 pontos (ou seja, subintervalos) na regra dos trapézios para alcançar a mesma precisão obtida pela regra de Simpson em (b).

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