Considere a integral
© Sabendo que o valor exato de
, usando 5 casas decimais, é 0.74682 , pede-se:
(c.1) Compare as estimativas obtidas em (a) e (b),
(c.2) Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisão para a estimativa obtiva para
em (b)?
© Sabendo que o valor exato de
(c.1) Compare as estimativas obtidas em (a) e (b),
(c.2) Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisão para a estimativa obtiva para
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente compare duas estimativas da integral
(como o valor dado 0,74682 bate com
e não com
).
Nas partes (a) e (b) a gente aplicou as regras numéricas com subintervalos em
:
• (a) Regra dos trapézios com .
• (b) Regra de Simpson com .
Para resolver (c.1) a gente vai comparar o erro de cada uma com o valor “exato” 0,74682.
Para (c.2) vamos usar a fórmula do erro da regra dos trapézios
e achar que deixe esse erro menor que o erro da parte (b).
Nas partes (a) e (b) a gente aplicou as regras numéricas com
• (a) Regra dos trapézios com
• (b) Regra de Simpson com
Para resolver (c.1) a gente vai comparar o erro de cada uma com o valor “exato” 0,74682.
Para (c.2) vamos usar a fórmula do erro da regra dos trapézios
e achar
Passo 2
Calcular as estimativas com
,
e
Tabelinha rápida:
,
,
,
,
.
Regra dos trapézios:
Regra de Simpson:
Passo 3
Agora o “exato” é
. Vamos aos erros absolutos:
Comparando:
– A regra de Simpson ficou bem mais próxima (erro )
– A dos trapézios ficou com erro .
– A regra de Simpson ficou bem mais próxima (erro
– A dos trapézios ficou com erro
Passo 4
Queremos saber quantos pontos (ou seja, quantos subintervalos
) a regra dos trapézios precisaria para ter erro
.
A fórmula de erro é
A fórmula de erro é
Aqui
. Em
o maior valor absoluto é em
:
.
Então
Então
Como
tem que ser inteiro e pelo menos esse valor, escolhemos
subintervalos.
Isso dá pontos ao todo.
Isso dá
Resposta
São necessários 76 pontos (ou seja,
subintervalos) na regra dos trapézios para alcançar a mesma precisão obtida pela regra de Simpson em (b).