Considere o PVI: y^prime=y x^2-y^2, y(0)=1.
Encontre y(2) aproximadamente com h=0.5, h=0.25, usando o método de passo multiplo explícito de 4a. ordem (Adams-Bashforth de 4a. ordem), fazendo a iniciação com o método de Euler aperfeiçoado,

Passo 1

Beleza, o exercício é aproximar a solução do PVI
yn+1 ;=; yn ;+;h24l(55fn -59fn-1 +37fn-2 -9fn-3r), , com , até usando o método explícito de passo múltiplo Adams-Bashforth de 4ª ordem.
Conteúdo: métodos numéricos para EDO (Euler aperfeiçoado e Adams-Bashforth).
O que vamos precisar:
  • Iniciar com Euler aperfeiçoado (Heun) para obter os três primeiros valores .
  • Usar a fórmula de Adams-Bashforth 4ª ordem
onde .

Passo 2

Temos k1 = f(xn,yn), yrm pred=yn + h,k1, k2 = f(xn+1,yrm pred), yn+1 = yn + tfrach2(k1+k2) .
Para cada passo usamos
k1=f(0,1)=1cdot0^2-1^2=-1, yrm pred=1+0.5(-1)=0.5,
  1. k2=f(0.5,0.5)=0.5cdot0.5^2-0.5^2=0.125-0.25=-0.125, , y1=1+tfrac0.52(-1-0.125)=0.71875 , k1=f(0.5,0.71875)=0.71875cdot0.25-0.71875^2=-0.33691406, :
yrm pred=0.71875+0.5(-0.33691406)=0.55029297,
k2=f(1.0,0.55029297)=0.55029297-0.55029297^2=0.24747026,
y2=0.71875+tfrac0.52(-0.33691406+0.24747026)=0.69638905
  1. k1=f(1.0,0.69638905)=0.69638905-0.69638905^2=0.21144194, , yrm pred=0.69638905+0.5(0.21144194)=0.80211002, , k2=f(1.5,0.80211002)=0.80211002cdot2.25-0.80211002^2=1.16136800, :
y3=0.69638905+tfrac0.52(0.21144194+1.16136800)=1.03959153
  1. , , :

Passo 3

Já temos f0=f(0,1)=-1,;f1=-0.33691406,;f2=0.21144194,;f3=f(1.5,1.03959153)=1.25904760 . Calculamos
y4=y3+0.524l(55f3-59f2+37f1-9f0r) =1.03959153+0.0208333cdot53.300703 approx2.15002
Então

Passo 4

Agora k1=f(0,1)=-1,; yrm pred=1+0.25(-1)=0.75,; k2=f(0.25,0.75)=0.75cdot0.0625-0.75^2=-0.515625, . Vamos obter y1=1+tfrac0.252(-1-0.515625)=0.81054688 :
  1. k1=f(0.25,0.81054688)=-0.60634094,; yrm pred=0.81054688+0.25(-0.60634094)=0.65896165, :
k2=f(0.5,0.65896165)=0.65896165cdot0.25-0.65896165^2=-0.26953763,
y2=0.81054688+tfrac0.252(-0.60634094-0.26953763)=0.70106206
  1. k1=f(0.5,0.70106206)=-0.31622257,;yrm pred=0.70106206+0.25(-0.31622257)=0.62200646, :
k2=f(0.75,0.62200646)=0.62200646cdot0.5625-0.62200646^2=-0.03726336,
y3=0.70106206+tfrac0.252(-0.31622257-0.03726336)=0.65687632
  1. :

Passo 5

Usamos sempre
yn+1=yn+0.2524l(55fn-59fn-1+37fn-2-9fn-3r),
com .
Listando rapidamente os valores:
  • , , , .
  • Cálculo de : usando .
  • Em seguida:

Resposta

  • Para : .
  • Para : .

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