Considere a integral I=integral2^3 15-x d x. Determine o número mínimo de subintervalos que devem ser utilizados na Regra de Simpson para que o erro absoluto envolvido na estimativa da intergral I seja inferior a 5 times 10^-9.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos a integral
I=integral2^315 - x,dx
e queremos usar a Regra de Simpson pra aproximar essa integral de tal forma que o erro absoluto fique abaixo de . A pergunta é: qual o mínimo número de subintervalos (lembrando que, na Regra de Simpson, tem que ser par) para garantir isso?
Conteúdo: Regra de Simpson e sua estimativa de erro.
O que precisamos:
  1. A fórmula do erro máximo da Regra de Simpson.
  2. Derivar até a quarta derivada de .
  3. Encontrar o máximo dessa quarta derivada no intervalo .
  4. Montar a desigualdade do erro e achar .

Passo 2

Teoria do erro na Regra de Simpson: se |E|<= (b-a)^5180,n^4,maxxin[a,b]|f^(4)(x)| tem a quarta derivada contínua em , então o erro satisfaz
Aqui , , e é o número de subintervalos (par).

Passo 3

Agora vamos achar .
Começando em :



.

Passo 4

Precisamos do máximo de max[2,3]|f^(4)(x)| = 242^5 = 2432 = 34 em .
Em , varia de (quando ) até (quando ), então o denominador fica menor em . Logo

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula do erro:
|E|<= (3-2)^5180,n^4,34 = 1^5180,n^4cdot34 = 3720,n^4 = 1240,n^4
Queremos n^4>1240cdot5times10^-9 =11,2times10^-6 approx8,3333times10^5 .
Isso dá
n>l(8,3333times10^5r)^1/4approx30,2
Fazendo a raiz quarta:
Como tem que ser inteiro e par, o mínimo é .

Resposta

O número mínimo de subintervalos na Regra de Simpson é .

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