Considere a integral . Determine o número mínimo de subintervalos que devem ser utilizados na Regra de Simpson para que o erro absoluto envolvido na estimativa da intergral seja inferior a .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos a integral
e queremos usar a Regra de Simpson pra aproximar essa integral de tal forma que o erro absoluto fique abaixo de . A pergunta é: qual o mínimo número de subintervalos (lembrando que, na Regra de Simpson, tem que ser par) para garantir isso?
Conteúdo: Regra de Simpson e sua estimativa de erro.
O que precisamos:
A fórmula do erro máximo da Regra de Simpson.
Derivar até a quarta derivada de .
Encontrar o máximo dessa quarta derivada no intervalo .
Montar a desigualdade do erro e achar .
Passo 2
Teoria do erro na Regra de Simpson: se tem a quarta derivada contínua em , então o erro satisfaz
Aqui , , e é o número de subintervalos (par).
Passo 3
Agora vamos achar .
Começando em : .
Passo 4
Precisamos do máximo de em .
Em , varia de (quando ) até (quando ), então o denominador fica menor em . Logo