Dado o sistema de equações lineares:
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Calcule o erro relativo e absoluto do resultado obtido em cada método.
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Calcule o erro relativo e absoluto do resultado obtido em cada método.
Passo 1
Beleza, então a questão é: temos o sistema
com chute inicial
. Queremos calcular o erro absoluto e o erro relativo do resultado obtido em cada método iterativo (Jacobi e Gauss–Seidel). Para isso, vamos precisar:
- Resolver o sistema exatamente (pra ter a “verdade”),
- Saber como funciona uma iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel,
- Definir o que é erro absoluto e erro relativo (usando a norma infinito, por exemplo).
Passo 2
Primeiro, a solução exata do sistema. Podemos usar eliminação de Gauss ou simplesmente resolver na mão:
- Da primeira equação,
. - Substituo na segunda:
- Então
.
Logo a solução exata é
Passo 3
Agora uma iteração de Jacobi. A fórmula geral é
Com
:
Então o vetor de Jacobi após 1 iteração é
Passo 4
Na Gauss–Seidel, a gente já usa o
na hora de calcular
. Ou seja,
Assim
Passo 5
Definimos:
- Erro absoluto (norma infinito):
. - Erro relativo:
,
onde.
Para a solução exata
,
.
Jacobi:
Gauss–Seidel:
Resposta
Jacobi (1ª iteração):
- Erro absoluto
- Erro relativo =
Gauss–Seidel (1ª iteração):
- Erro absoluto
- Erro relativo =