Dado o sistema de equações lineares:
4 X1+X2=9
2 X1+6 X2=10
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Calcule o erro relativo e absoluto do resultado obtido em cada método.

Passo 1

Beleza, então a questão é: temos o sistema
4X1 + X2 = 9, 2X1 + 6X2 = 10,
com chute inicial . Queremos calcular o erro absoluto e o erro relativo do resultado obtido em cada método iterativo (Jacobi e Gauss–Seidel). Para isso, vamos precisar:
  • Resolver o sistema exatamente (pra ter a “verdade”),
  • Saber como funciona uma iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel,
  • Definir o que é erro absoluto e erro relativo (usando a norma infinito, por exemplo).

Passo 2

Primeiro, a solução exata do sistema. Podemos usar eliminação de Gauss ou simplesmente resolver na mão:
  1. Da primeira equação, 2x1 + 6(9 - 4x1) = 10 ;Longrightarrow; 2x1 + 54 - 24x1 = 10 ;Longrightarrow; -22x1 = -44 ;Longrightarrow; x1 = 2 .
  2. Substituo na segunda:
x = (2,,1)
  1. Então .
    Logo a solução exata é

Passo 3

Agora uma iteração de Jacobi. A fórmula geral é
xi^(k+1) ;=; 1aiil(bi - sumjneq iaij,xj^(k)r)
Com x1^(1) =9 - (1)cdot 04 = 94 = 2,25, x2^(1) =10 - 2cdot 06 = 106 approx 1,6667 :
x^(1)rm J = (2,25,;1,6667)
Então o vetor de Jacobi após 1 iteração é

Passo 4

Na Gauss–Seidel, a gente já usa o x1^(1) = 2,25 (mesmo cálculo), na hora de calcular x2^(1) =10 - 2cdot x1^(1)6 =10 - 2cdot2,256 =5,56 approx 0,9167 . Ou seja,
x^(1)rm GS = (2,25,;0,9167) á
Assim

Passo 5

Definimos:
  • Erro absoluto (norma infinito):
    |2 - 2,25| = 0,25, |1 - 1,6667| = 0,6667 ;Longrightarrow; |e|infty = 0,6667, .
  • Erro relativo:
    erro relativo = 0,66672 = 0,3333 ,
    onde |2 - 2,25| = 0,25, |1 - 0,9167| = 0,0833 ;Longrightarrow; |e|infty = 0,25, .
Para a solução exata erro relativo = 0,252 = 0,125 , .
Jacobi:
Gauss–Seidel:

Resposta

Jacobi (1ª iteração):
  • Erro absoluto
  • Erro relativo =
Gauss–Seidel (1ª iteração):
  • Erro absoluto
  • Erro relativo =

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