Considere a integral I=integral2^3 15-x d x. Determine o número mínimo de subintervalos que devem ser utilizados na Regra dos Trapézios para que o erro absoluto envolvido na estimativa da intergral I seja inferior a 5 times 10^-9.

Passo 1

Beleza, a gente tem a integral
I = integral2^3 15 - x,dx
e o objetivo é achar o número mínimo de subintervalos |ET| < 5times 10^-9 na Regra dos Trapézios para que o erro absoluto satisfaça
O conteúdo aqui é Integração Numérica, mais especificamente a Regra dos Trapézios e seu coto de erro. Para resolver, vamos precisar:
  • A fórmula do erro da Regra dos Trapézios.
  • Derivar a função para achar o máximo de no intervalo.
  • Isolar para garantir o erro pedido.

Passo 2

Primeiro, define a função e calcule suas derivadas até a segunda:
f(x) = 15 - x
Então
f'(x) = ddx(5 - x)^-1 = (5 - x)^-2,
e
f''(x) = ddx(5 - x)^-2 = 2,(5 - x)^-3
Note que é sempre positiva em e cresce conforme aumenta.

Passo 3

A fórmula do erro máximo da Regra dos Trapézios é
|ET| <= (b - a)^312,n^2,maxxin[a,b] |f''(x)|
Aqui , , então . Resta achar
, porque é crescente ali.

Passo 4

Calcule f''(3) = 2,(5 - 3)^-3 = 2cdot 2^-3 = 28 = tfrac14 :
|ET| <= (1)^312,n^2,14 = 148,n^2
Logo
148,n^2 < 5times 10^-9 Longrightarrow n^2 > 148cdot 5times10^-9 = 12.4times10^-7 approx 4,166,667
Queremos
n > raiz4,166,667approx 2,04124
Então
Como tem que ser inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

O número mínimo de subintervalos é .

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