Considere a integral
. Determine o número mínimo de subintervalos que devem ser utilizados na Regra dos Trapézios para que o erro absoluto envolvido na estimativa da intergral
seja inferior a
.
Passo 1
Beleza, a gente tem a integral
e o objetivo é achar o número mínimo de subintervalos
na Regra dos Trapézios para que o erro absoluto satisfaça
O conteúdo aqui é Integração Numérica, mais especificamente a Regra dos Trapézios e seu coto de erro. Para resolver, vamos precisar:
- A fórmula do erro da Regra dos Trapézios.
- Derivar a função para achar o máximo de
no intervalo. - Isolar
para garantir o erro pedido.
Passo 2
Primeiro, define a função e calcule suas derivadas até a segunda:
Então
e
Note que
é sempre positiva em
e cresce conforme
aumenta.
Passo 3
A fórmula do erro máximo da Regra dos Trapézios é
Aqui
,
, então
. Resta achar
, porque
é crescente ali.
Passo 4
Calcule
:
Logo
Queremos
Então
Como
tem que ser inteiro, arredondamos para cima.
Resposta
O número mínimo de subintervalos é
.