Considere os sistema lineares:
& (I) ccccc x1+2 x2 & - & x3 & = & 4 2 x1+13 x2 & + & x3 & = & 35 -x1+ & x2+ & 4 x3 & = & 5 & (I I)cccc x1+2 x2+x3 & = & 6 2 x1+x2 & +x3 & = & 14 x1+2 x2 & +x3 & = & 6
Faça uma escolha adequada para resolver um deles usando fatoração L U e outro usando fatoração de Cholesky. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, temos dois sistemas lineares e precisamos escolher um para resolver por fatoração LU e o outro por fatoração de Cholesky.
Conteúdo da matéria:
  • Fatoração LU (dividir uma matriz A em L·U, com L triangular inferior e U triangular superior).
  • Fatoração de Cholesky (versão mais “leve” de LU que exige que A seja simétrica e positiva definida).
    O que vamos precisar:
  1. Reconhecer se a matriz é simétrica.
  2. Testar se ela é positiva definida (verificar menores principais positivos).

Passo 2

Vamos olhar cada matriz:
Sistema (I) tem
A1=1&2&-12&13&1-1&1&4
1) Simetria? Note que 1&22&13.
2) Positiva definida? Checo os menores principais:
- A2=1&2&12&1&11&2&1.
- .
- (pode calcular pela regra de Sarrus ou expansão).
Como todos são >0, é positiva definida. Logo cabe Cholesky em .
Sistema (II) tem

1) Simetria? Aqui mas . Não é simétrica, logo não podemos usar Cholesky. Mas toda matriz quadrada (sem precisar de simetria) pode passar por fatoração LU (desde que não exijamos pivoteamento especial).

Passo 3

Conclusão das escolhas:
  • Para o sistema (I), usamos fatoração de Cholesky, pois é simétrica e positiva definida.
  • Para o sistema (II), usamos fatoração LU, pois não é simétrica e, portanto, não serve para Cholesky.

Resposta

Sistema (I) → fatoração de Cholesky
Sistema (II) → fatoração LU

Exercícios relacionados