Faça uma escolha adequada para resolver um deles usando fatoração L U e outro usando fatoração de Cholesky. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, temos dois sistemas lineares e precisamos escolher um para resolver por fatoração LU e o outro por fatoração de Cholesky.
Conteúdo da matéria:
Fatoração LU (dividir uma matriz A em L·U, com L triangular inferior e U triangular superior).
Fatoração de Cholesky (versão mais “leve” de LU que exige que A seja simétrica e positiva definida).
O que vamos precisar:
Reconhecer se a matriz é simétrica.
Testar se ela é positiva definida (verificar menores principais positivos).
Passo 2
Vamos olhar cada matriz:
Sistema (I) tem
A1=1&2&-12&13&1-1&1&4
1) Simetria? Note que 1&22&13.
2) Positiva definida? Checo os menores principais:
- A2=1&2&12&1&11&2&1.
- .
- (pode calcular pela regra de Sarrus ou expansão).
Como todos são >0, é positiva definida. Logo cabe Cholesky em .
Sistema (II) tem
1) Simetria? Aqui mas . Não é simétrica, logo não podemos usar Cholesky. Mas toda matriz quadrada (sem precisar de simetria) pode passar por fatoração LU (desde que não exijamos pivoteamento especial).
Passo 3
Conclusão das escolhas:
Para o sistema (I), usamos fatoração de Cholesky, pois é simétrica e positiva definida.
Para o sistema (II), usamos fatoração LU, pois não é simétrica e, portanto, não serve para Cholesky.
Resposta
Sistema (I) → fatoração de Cholesky
Sistema (II) → fatoração LU