Quando uma população
é limitada por um valor
, o crescimento dessa população segue um modelo logístico dado por
Encontre as constantes
e
sabendo que
e o modelo
se ajusta da melhor forma possível aos dados da tabela abaixo no sentido de quadrados mínimos lineares.
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
200 | 400 | 650 | 850 | 950 |
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos um modelo logístico
com
, e a gente quer achar
e
que melhor “encaixam” os dados da tabela
tabela:
t: 0,1,2,3,4
P(t): 200,400,650,850,950
O conteúdo aqui é regressão de mínimos quadrados, só que primeiro a gente vai linearizar o modelo para poder usar aquela fórmula de reta. A gente vai precisar de:
– Entender como passar de para uma forma linear em
.
– Calcular algumas somas (dos pontos transformados) e aplicar a fórmula de regressão linear.
tabela:
t: 0,1,2,3,4
P(t): 200,400,650,850,950
O conteúdo aqui é regressão de mínimos quadrados, só que primeiro a gente vai linearizar o modelo para poder usar aquela fórmula de reta. A gente vai precisar de:
– Entender como passar de
– Calcular algumas somas (dos pontos transformados) e aplicar a fórmula de regressão linear.
Passo 2
Vamos linearizar. Começamos com
- Inverte:
- Isola o termo exponencial:
- Aplica ln dos dois lados:
Então, se definirmos
ficamos com a reta
Agora dá pra usar os mínimos quadrados para achar coeficiente angular
e intercepto
.
Passo 3
Calcula os valores de
para cada ponto
:
t=0, y=200: ;
t=1, y=400: ;
t=2, y=650: ;
t=3, y=850: ;
t=4, y=950: ;
t=0, y=200: ;
t=1, y=400: ;
t=2, y=650: ;
t=3, y=850: ;
t=4, y=950: ;
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de reta por mínimos quadrados. Definimos:
A inclinação (que é
) é
O intercepto é
logo
Resposta
C \approx 4.30
A \approx -1.08
A \approx -1.08