Quando uma população P(t) é limitada por um valor L, o crescimento dessa população segue um modelo logístico dado por
P(t)=L(1+C e^A t)
Encontre as constantes C e A sabendo que L=1000 e o modelo P(t) se ajusta da melhor forma possível aos dados da tabela abaixo no sentido de quadrados mínimos lineares.
x 0 1 2 3 4
y 200 400 650 850 950

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um modelo logístico
P(t)=L1+C,e^A t
com L=1000, e a gente quer achar C e A que melhor “encaixam” os dados da tabela
tabela:
t: 0,1,2,3,4
P(t): 200,400,650,850,950
O conteúdo aqui é regressão de mínimos quadrados, só que primeiro a gente vai linearizar o modelo para poder usar aquela fórmula de reta. A gente vai precisar de:
– Entender como passar de P(t) para uma forma linear em t.
– Calcular algumas somas (dos pontos transformados) e aplicar a fórmula de regressão linear.

Passo 2

Vamos linearizar. Começamos com
P(t)=10001+C,e^A t
  1. Inverte:
1000P(t)=1+C,e^A t
  1. Isola o termo exponencial:
1000P(t)-1 = C,e^A t
  1. Aplica ln dos dois lados:
ln!l(1000P(t)-1r) = ln C + A,t
Então, se definirmos
z = ln!l(tfrac1000P(t)-1r),
ficamos com a reta
z = A,t + (ln C)
Agora dá pra usar os mínimos quadrados para achar coeficiente angular A e intercepto ln C.

Passo 3

Calcula os valores de
zi = ln!l(tfrac1000yi-1r)
para cada ponto (ti,yi):
t=0, y=200: ; z0=ln(1000/200-1)=ln(4)approx1.3863
t=1, y=400: ; z1=ln(1000/400-1)=ln(1.5)approx0.4055
t=2, y=650: ; z2=ln(1000/650-1)approxln(0.5385)approx-0.6190
t=3, y=850: ; z3=ln(1000/850-1)approxln(0.1765)approx-1.7346
t=4, y=950: ; z4=ln(1000/950-1)approxln(0.0526)approx-2.9444

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de reta por mínimos quadrados. Definimos:
n=5, sum ti =0+1+2+3+4=10, sum ziapprox -3.5062,
sum ti^2=0+1+4+9+16=30, sum ti,ziapprox -17.8139
A inclinação (que é A) é
A = nsum ti zi - (sum ti)(sum zi)nsum ti^2 - (sum ti)^2 = 5cdot(-17.8139)-10cdot(-3.5062)5cdot30-10^2 approx -89.0695+35.062150-100 approx -1.080
O intercepto é
ln C = sum zi - Asum tin = -3.5062 -(-1.080)cdot105 approx 1.459,
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C = e^1.459approx4.30

Resposta

C \approx 4.30
A \approx -1.08

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