Suponha que f(0)=1, f(0.25)=alpha, f(0.5)=2.5, f(0.75)=alpha e f(1.0)=2. Determine alpha para que a Regra dos Trapézios aplicada à integral integral0^1 f(x) d x resulte em 1.75 utilizando 4 subintervalos.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem os pontos
f(0)=1,;f(0.25)=alpha,;f(0.5)=2.5,;f(0.75)=alpha,;f(1)=2
e pede pra usar a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos de 0 a 1 pra que a aproximação da integral
integral0^1f(x), d x
dê exatamente 1.75.
Matéria: Método Numérico – Regra dos Trapézios.
O que precisamos:
  • Calcular o tamanho do passo .
  • Saber a fórmula da Regra dos Trapézios.
  • Montar a equação dependendo de e igualar a 1.75.

Passo 2

Primeiro achamos o tamanho h=b-an=1-04=0.25 de cada subintervalo. Como o intervalo vai de até e queremos pedaços,

Isso quer dizer que os estão em .

Passo 3

A Regra dos Trapézios para T=h2l[f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r] subintervalos igualmente espaçados diz:

Em palavras, você soma o primeiro e o último valor de , soma duas vezes todos os valores do meio e multiplica por .

Passo 4

Agora plugamos nossos valores:
T=0.252l[f(0)+2l(f(0.25)+f(0.5)+f(0.75)r)+f(1)r]
Substituindo T=0.252l[1+2(alpha+2.5+alpha)+2r] =0.252l[1+2(2alpha+2.5)+2r] , 2(2alpha+2.5)=4alpha+5, 1+(4alpha+5)+2=8+4alpha , T=0.252(8+4alpha) =0.125,(8+4alpha) =1+0.5,alpha , , :

Calculando o que tá dentro do colchete:

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Passo 5

A condição do enunciado é que 1+0.5,alpha=1.75 Longrightarrow 0.5,alpha=0.75 Longrightarrow alpha=1.5 . Então a gente faz:

Resposta

.

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