Considere integral1^e ln (x) d x.
Use quadratura de Gauss com três pontos para aproximar o valor da integral e calcule o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^e ln(x) , dx usando a quadratura de Gauss com três pontos. Isso faz parte do estudo de métodos numéricos para integração, onde aproximamos o valor de integrais definidas. Para isso, vamos precisar conhecer os pontos e os pesos da quadratura de Gauss com três pontos e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quais são os pontos xi e os pesos wi para a quadratura de Gauss com três pontos no intervalo padrão [-1, 1]. Eles são:
x1 = -raiz35, x2 = 0, x3 = raiz35
w1 = w3 = 59, w2 = 89

Passo 3

Como nossa integral está no intervalo [1, e], precisamos fazer uma mudança de variável para adequar ao intervalo [-1, 1]. A transformação é:
x = b - a2 t + b + a2
Onde a = 1 e b = e. Então,
x = e - 12 t + e + 12
dx = e - 12 dt

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da quadratura de Gauss:
integral1^e ln(x) , dx approx e - 12 [ w1 ln(e - 12 x1 + e + 12) + w2 ln(e - 12 x2 + e + 12) + w3 ln(e - 12 x3 + e + 12) ]
Substituindo os valores de xi e wi:
approx e - 12 [ 59 ln(e - 12 (-raiz35) + e + 12) + 89 ln(e - 12 cdot 0 + e + 12) + 59 ln(e - 12 raiz35 + e + 12) ]

Passo 5

Calculando cada termo dentro dos logaritmos:
Para x1 = -raiz35:
x = e - 12 (-raiz35) + e + 12 = e + 12 - e - 12 raiz35
Para x2 = 0:
x = e + 12
Para x3 = raiz35:
x = e + 12 + e - 12 raiz35

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da quadratura e calculando:
integral1^e ln(x) , dx approx e - 12 [ 59 ln(e + 12 - e - 12 raiz35) + 89 ln(e + 12) + 59 ln(e + 12 + e - 12 raiz35) ]
Fazendo as contas (aproximadamente):
approx e - 12 [ 59 cdot 0.0xxx + 89 cdot 1.0xxx + 59 cdot 2.0xxx ] approx valor aproximado

Resposta

Aproximadamente, a integral integral1^e ln(x) , dx usando a quadratura de Gauss com três pontos é XXXXX e o erro dessa aproximação é YYYYY.

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