Considere
.
Use quadratura de Gauss com três pontos para aproximar o valor da integral e calcule o erro.
Use quadratura de Gauss com três pontos para aproximar o valor da integral e calcule o erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a quadratura de Gauss com três pontos. Isso faz parte do estudo de métodos numéricos para integração, onde aproximamos o valor de integrais definidas. Para isso, vamos precisar conhecer os pontos e os pesos da quadratura de Gauss com três pontos e aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber quais são os pontos
e os pesos
para a quadratura de Gauss com três pontos no intervalo padrão
. Eles são:
Passo 3
Como nossa integral está no intervalo
, precisamos fazer uma mudança de variável para adequar ao intervalo
. A transformação é:
Onde
e
. Então,
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da quadratura de Gauss:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Calculando cada termo dentro dos logaritmos:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão da quadratura e calculando:
Fazendo as contas (aproximadamente):
Resposta
Aproximadamente, a integral
usando a quadratura de Gauss com três pontos é
e o erro dessa aproximação é
.