Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { se } & -1<x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & |x|>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} -1,&-1<x<0,\\\\ 1,&0<x<1,\\\\ 0,&|x|>1, \end{cases}
e pede a transformada de Fourier \hat f(w). Vamos usar a definição
\hat f(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i w x}\,dx.

Passo 2

Como f(x) é não nula só em (-1,0) e (0,1), escrevemos
\hat f(w) =\int_{-1}^{0}(-1)\,e^{-i w x}\,dx +\int_{0}^{1}1\cdot e^{-i w x}\,dx.

Passo 3

Calculemos a primeira integral
I_1 =-\int_{-1}^{0}e^{-i w x}\,dx =-\Bigl[\frac{e^{-i w x}}{-i w}\Bigr]_{x=-1}^{x=0} =\frac{1-e^{i w}}{i w}.

Passo 4

Agora a segunda integral
I_2 =\int_{0}^{1}e^{-i w x}\,dx =\Bigl[\frac{e^{-i w x}}{-i w}\Bigr]_{x=0}^{x=1} =\frac{1-e^{-i w}}{i w}.

Passo 5

Somando I_1 e I_2
\hat f(w) =I_1+I_2 =\frac{1-e^{i w}}{i w}+\frac{1-e^{-i w}}{i w} =\frac{2-(e^{i w}+e^{-i w})}{i w} =\frac{2(1-\cos w)}{i w}.

Resposta

\displaystyle \hat f(w)=\frac{2\bigl(1-\cos w\bigr)}{i\,w}.

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