Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<2 \\\\ 0 & \text { se } & x>2\end{array}\right., encontre a transformada de Fourier de f dada pela fórmula
\mathcal{F}\{f\}(w)=\hat{f}(w)=\sqrt{\frac{1}{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i w x} d x

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 1, & 0<x<2,\\\\ 0, & x>2, \end{cases}
e pede a transformada de Fourier
\hat f(w) =\sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}\,dx.
Como f(x)=0 fora de [0,2], só precisamos integrar nesse intervalo.

Passo 2

Escrevemos a integral restrita a [0,2]:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}\,dx =\int_{0}^{2}1\cdot e^{-iwx}\,dx.

Passo 3

Sabemos que
\int e^{-iwx}\,dx =\frac{e^{-iwx}}{-\,i\,w},
para w\neq0.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 2 e incluindo o fator \sqrt{\tfrac1{2\pi}}, obtemos
\hat f(w) =\sqrt{\frac{1}{2\pi}} \left[\frac{e^{-iwx}}{-\,i\,w}\right]_{0}^{2} =\sqrt{\frac{1}{2\pi}} \frac{e^{-2iw}-1}{-\,i\,w} =\sqrt{\frac{1}{2\pi}} \frac{1-e^{-2iw}}{i\,w}.

Resposta

\hat f(w) =\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\, \frac{1 - e^{-2\,i\,w}}{i\,w}.

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