Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\operatorname{sen} x & \text { se } & 0<x<\pi \\\\ 0 & \text { se } & x>\pi\end{array}\right., encontre \hat{f}_{s}(w).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \begin{cases} \sin x, & 0 < x < \pi,\\\\ 0, & x > \pi \end{cases}
e pede a transformada seno de Fourier \displaystyle \hat f_{s}(w).
O conteúdo envolve definição de transformada seno e cálculo de integral com produto de senos.

Passo 2

Pela definição da transformada seno, para w>0 temos
\hat f_{s}(w) = \int_{0}^{\infty} f(x)\,\sin(w x)\,dx.
Como f(x)=0 para x>\pi, o integral reduz-se a
\hat f_{s}(w) = \int_{0}^{\pi} \sin x\,\sin(w x)\,dx.

Passo 3

Usamos a identidade produto-para-soma
\sin x\,\sin(w x) = \tfrac12\bigl[\cos\bigl((1 - w)x\bigr)-\cos\bigl((1 + w)x\bigr)\bigr].
Logo
\hat f_{s}(w) = \tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos\bigl((1 - w)x\bigr)\,dx - \tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos\bigl((1 + w)x\bigr)\,dx.

Passo 4

Sabemos que
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx = \frac{\sin(k\pi)}{k}.
Portanto
\hat f_{s}(w) = \tfrac12\Bigl[\frac{\sin\bigl((1 - w)\pi\bigr)}{1 - w} - \frac{\sin\bigl((1 + w)\pi\bigr)}{1 + w}\Bigr].

Passo 5

Usando \sin\bigl((1 - w)\pi\bigr)=\sin(w\pi)
e \sin\bigl((1 + w)\pi\bigr)=-\sin(w\pi),
temos
\hat f_{s}(w) = \tfrac12\Bigl[\frac{\sin(w\pi)}{\,1-w\,} + \frac{\sin(w\pi)}{\,1+w\,}\Bigr] = \frac{\sin(w\pi)}{2}\,\frac{(1+w)+(1-w)}{1-w^2} = \frac{\sin(w\pi)}{1-w^2}.

Resposta

\boxed{\hat f_{s}(w) = \frac{\sin(w\pi)}{1 - w^{2}}\,.}

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