Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\ x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w). Passo 1O enunciado define f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & 0<x<1,\\\\ 0, & x>1, \end{cases} e pede a transformada de Fourier \hat f(w)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx. Como f(x) é zero fora de (0,1), basta integrar essa expressão em [0,1]. Passo 2Reduzimos \hat f(w) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx =\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx. Agora aplicamos integração por partes em \displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx. Passo 3Escolhemos u = x,\quad dv = e^{-iwx}dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = -\frac{1}{iw}e^{-iwx}. Logo \int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx =\Bigl.-\frac{x}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{1}{iw}e^{-iwx}dx. Passo 4Continuando o cálculo, \Bigl.-\frac{x}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} =-\frac{1}{iw}e^{-iw}, e \int_{0}^{1}\frac{1}{iw}e^{-iwx}dx =\frac{1}{iw}\,\Bigl.-\frac{1}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} =-\frac{1}{(iw)^2}\bigl(e^{-iw}-1\bigr). Como (iw)^2=-w^2, temos -\frac{1}{(iw)^2}=-\frac{1}{-w^2}=\frac{1}{w^2}, portanto \int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx =-\frac{1}{iw}e^{-iw}+\frac{1}{w^2}\bigl(e^{-iw}-1\bigr) =\frac{1-(1+iw)e^{-iw}}{w^2}. Resposta \hat f(w) =\frac{1-(1+iw)e^{-iw}}{w^2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { se } & -1<x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & |x|>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w). Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<2 \\\\ 0 & \text { se } & x>2\end{array}\right., encontre a transformada de Fourier de f dada pela fórmula \mathcal{F}\{f\}(w)=\hat{f}(w)=\sqrt{\frac{1}{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i w x} d x Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\ x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w). Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir. a) Uma decomposição \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}, ou uma fatoração \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}, de uma matriz quadrada A é uma fatoração A=L U em que L é uma matriz triangular superior e U é triangular inferior. b) Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição L U (sem pivotação). c) Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas U com eliminação de Gauss sem permuta de linhas, então A pode ser fatorada como A=L U, em que L é uma matriz triangular inferior. d) Na ausência de restrições, as decomposições L U não são únicas.