Supondo que x é representado num computador por \bar{x}, onde \bar{x} é obtido por truncamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=4 \bar{x} e w=\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}. Caso sejam diferentes, explique o motivo.

Passo 1

O enunciado dá: x é representado no computador por \bar{x}, obtido por truncamento (chopping) a t dígitos numa base \beta. Pede-se limites superiores para os erros relativos de duas quantidades que aproximam 4x:
  • u = 4\bar{x},
  • w = \bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}.
Vou trabalhar com a notação padrão para o erro de truncamento e para o modelo de aritmética flutuante por operações elementares (se necessário). Não existe informação adicional sobre se as operações aritméticas subsequentes são também truncadas (isto é, se cada multiplicação/soma é seguida de truncamento). Vou, portanto, apresentar primeiro o limite devido só à representação truncada de x e depois tratar o caso realístico em que cada operação aritmética é feita em ponto flutuante com truncamento (modelo usual: cada operação é seguida de um truncamento com erro relativo limitado).

Passo 2

Limite superior do erro relativo da representação por truncamento.
Expliquei primeiro o que significa truncamento e qual é a sua consequência típica. Seja \varepsilon a unidade de truncamento associada ao número de dígitos: para truncamento a t dígitos na base \beta vale a desigualdade clássica
\left|\frac{\bar{x}-x}{x}\right| \le \varepsilon,
onde
\varepsilon = \beta^{\,1-t}.
Breve justificativa (didática): escrevendo x em forma normalizada na base \beta como x=\pm d_0.d_1d_2\ldots\times\beta^{e} e truncando após t dígitos obtém-se um resto (parte truncada) cujo valor absoluto é menor que \beta^{e-t}. Dividindo pela ordem de grandeza de x (que é aproximadamente d_0\beta^{e} com d_0\ge1) obtém-se que a fração relativa do resto é \le \beta^{1-t}=\varepsilon. Assim a representação inicial introduz no máximo um erro relativo \varepsilon.

Passo 3

Erro relativo de u=4\bar{x} quando somente a representação é truncada e as operações seguintes são exatas.
Aqui assumimos que a multiplicação por 4 não introduz novo truncamento (por exemplo, porque a multiplicação por inteiro apenas ajusta o expoente e o resultado é representável sem truncamento adicional). Então o verdadeiro valor que queremos aproximar é 4x. O erro relativo de u em relação a 4x é
\frac{u-4x}{4x}=\frac{4\bar{x}-4x}{4x}=\frac{\bar{x}-x}{x}.
Pelo passo anterior temos
\left|\frac{u-4x}{4x}\right| = \left|\frac{\bar{x}-x}{x}\right| \le \varepsilon.
Portanto, sob a hipótese de que a operação 4\bar{x} não sofre um novo truncamento, o limite superior do erro relativo de u é \varepsilon.

Passo 4

Efeito de truncamento também nas operações aritméticas (modelo flutuante): caso realístico.
No computador normalmente cada operação aritmética retorna um resultado que é novamente representado no formato truncado. O modelo padrão é: para qualquer operação aritmética binária \circ (adição, multiplicação, etc.)
\operatorname{fl}(a\circ b) = (a\circ b)(1+\delta),\qquad |\delta|\le \varepsilon,
onde \varepsilon é a mesma unidade de truncamento definida antes (para chopping). Assim, mesmo 4\bar{x} se calculado como \operatorname{fl}(4\cdot \bar{x}) pode incorrer num fator multiplicativo adicional (1+\delta) com |\delta|\le\varepsilon. Nesse caso, o erro relativo final de u frente a 4x tem duas contribuições: a da representação inicial ( \bar{x} em vez de x) e a da truncatura da multiplicação por 4. Uma estimativa simples, mantendo termos até ordem linear em \varepsilon, é
\left|\frac{u-4x}{4x}\right| \le \varepsilon + \varepsilon + O(\varepsilon^2) \approx 2\varepsilon,
isto é, o erro relativo pode duplicar aproximadamente se a multiplicação por 4 também é truncada. Mais rigorosamente, com o modelo acima teríamos
u=\operatorname{fl}(4\bar{x}) = 4\bar{x}(1+\delta_0),\quad |\delta_0|\le\varepsilon,
então
\left|\frac{u-4x}{4x}\right| \le \left|\frac{4\bar{x}(1+\delta_0)-4\bar{x}}{4x}\right| + \left|\frac{4\bar{x}-4x}{4x}\right| = |\delta_0|\frac{|\bar{x}|}{|x|} + \left|\frac{\bar{x}-x}{x}\right| \le \varepsilon(1+\varepsilon)+\varepsilon = 2\varepsilon + \varepsilon^2.
Para pequenas \varepsilon isto é aproximadamente 2\varepsilon.

Passo 5

Erro relativo de w=\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x} quando as somas são truncadas sequencialmente.
Agora analisamos o caso realístico em que cada adição é seguida de truncamento. Vamos usar o modelo \operatorname{fl}(a+b)=(a+b)(1+\delta) com |\delta|\le\varepsilon. Calculamos w por acumulação sequencial:
s_1=\operatorname{fl}(\bar{x}+\bar{x})=2\bar{x}(1+\delta_1),
s_2=\operatorname{fl}(s_1+\bar{x})=(2\bar{x}(1+\delta_1)+\bar{x})(1+\delta_2)=3\bar{x}\,\alpha_2,
s_3=\operatorname{fl}(s_2+\bar{x})=(3\bar{x}\,\alpha_2+\bar{x})(1+\delta_3)=4\bar{x}\,\alpha_3,
onde \alpha_2 e \alpha_3 são fatores que dependem dos \delta_j. O ponto fundamental é que cada adição pode multiplicar o acumulado por um fator no intervalo [1-\varepsilon,\,1+\varepsilon], logo o fator multiplicativo total sobre 4\bar{x} é, no pior caso, no máximo (1+\varepsilon)^3 (três adições). Assim obtemos a desigualdade
|w-4\bar{x}|\le 4|\bar{x}|\bigl((1+\varepsilon)^3-1\bigr).
Dividindo por 4|x| e lembrando que |\bar{x}|/|x|\le 1+\varepsilon (do passo 2) obtemos
\left|\frac{w-4x}{4x}\right| \le \bigl((1+\varepsilon)^3-1\bigr)(1+\varepsilon) + \varepsilon,
onde o termo final \varepsilon vem do erro de representação inicial \bar{x} (mesma decomposição do passo 3: erro total = erro devido à acumulação em torno de 4\bar{x} mais erro de \bar{x} em relação a x).

Passo 6

Simplificação e interpretação do limite para w.
Expandindo o polinômio obtemos
(1+\varepsilon)^3-1 = 3\varepsilon + 3\varepsilon^2 + \varepsilon^3.
Multiplicando por (1+\varepsilon) e somando o \varepsilon extra dá
\left|\frac{w-4x}{4x}\right| \le 4\varepsilon + 6\varepsilon^2 + 4\varepsilon^3 + \varepsilon^4.
Para \varepsilon pequeno (caso prático habitual) as componentes de ordem superior são desprezíveis e obtemos a estimativa de primeira ordem
\left|\frac{w-4x}{4x}\right| \lesssim 4\varepsilon.
Isto mostra que, por acumulação de truncamentos em cada adição, o erro relativo de w pode crescer aproximadamente até um fator 4 vezes a unidade de truncamento (ordem dominante).

Passo 7

Conclusão e explicação do motivo da diferença.
  • Se se considera apenas o erro inicial de representação (e as operações subsequentes são exatas), então u=4\bar{x} e w=\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x} são numericamente iguais e ambos têm erro relativo \le \varepsilon.
  • No modelo realístico onde cada operação aritmética é também truncada (modelo flutuante com chopping), então:
    • Para u (multiplicação por 4) aparece no máximo uma truncatura adicional, dando um limite aproximadamente 2\varepsilon (mais precisamente \le 2\varepsilon + \varepsilon^2).
    • Para w (três adições sucessivas) há até três truncamentos intermediários; o limite rigoroso obtido acima é \left|\frac{w-4x}{4x}\right| \le 4\varepsilon + 6\varepsilon^2 + 4\varepsilon^3 + \varepsilon^4,que, em primeira ordem, é aproximadamente 4\varepsilon.
Logo, em geral prático w pode ter erro relativo aproximadamente até quatro vezes maior que o erro de representação original, enquanto u (se a multiplicação não truncar ou truncar apenas uma vez) tem erro relativo muito menor. A diferença decorre do número de operações que introduzem truncamento: somas sucessivas acumulam erros de truncamento enquanto multiplicação por uma potência de dois (ou outro inteiro) pode ser menos custosa em termos de truncamento dependendo da base e da implementação.

Resposta

\displaystyle \text{Para }u=4\bar{x}:\\ \left|\dfrac{u-4x}{4x}\right|\le \varepsilon.
\displaystyle \text{Para }w=\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}:\\ \left|\dfrac{w-4x}{4x}\right|\le 4\varepsilon+6\varepsilon^{2}+4\varepsilon^{3}+\varepsilon^{4}\approx 4\varepsilon.

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