Considere que uma máquina fictícia com 11 bits, sendo 1 para o sinal do número, 4 para os expoentes (use a tabela dos expoentes feita em casa), e o restante para a mantissa. Usando o arredondamento responda:
e
, considerando Y positivo.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem uma máquina de ponto-flutuante “fictícia” com 11 bits no total – 1 bit de sinal, 4 bits de expoente (com viés, como uma tabela padrão) e, portanto, 6 bits dedicados à mantissa. Queremos calcular, usando arredondamento para o mais próximo, o erro absoluto e o erro relativo em X+Y (com Y>0).
Conteúdo: ponto‐flutuante, arredondamento e análise de erro (EA e ER). Vamos precisar saber como é definido o unit roundoff (εmáq) e usar a propriedade básica
fl(Z) = Z·(1+δ), |δ| ≤ εmáq
Conteúdo: ponto‐flutuante, arredondamento e análise de erro (EA e ER). Vamos precisar saber como é definido o unit roundoff (εmáq) e usar a propriedade básica
fl(Z) = Z·(1+δ), |δ| ≤ εmáq
Passo 2
Primeiro, vamos achar o unit roundoff εmáq dessa máquina.
- Num float binário de precisão p, a mantissa efetiva tem p dígitos (incluindo o 1 oculto). Aqui temos 6 bits na fração mais o 1 implícito = p=7.
- Para arredondar “para o mais próximo”, define‐se
εmáq = ½·2^(1–p) = ½·2^(1–7) = 2^(–7).
Isso significa que toda operação de ponto‐flutuante com arredondamento introduz um erro relativo δ tal que |δ| ≤ 2^(–7).
Passo 3
Agora, considerando Z = X+Y, a soma exata é Zexata = X+Y, e a soma em ponto‐flutuante com arredondamento é
Zfl = fl(X+Y) = (X+Y)·(1+δ)
com |δ| ≤ εmáq = 2^(–7).
Logo o erro absoluto é
EA = |Zfl – Zexata| = |(X+Y)·δ| ≤ |X+Y|·2^(–7).
Zfl = fl(X+Y) = (X+Y)·(1+δ)
com |δ| ≤ εmáq = 2^(–7).
Logo o erro absoluto é
EA = |Zfl – Zexata| = |(X+Y)·δ| ≤ |X+Y|·2^(–7).
Passo 4
O erro relativo é simplesmente o erro absoluto dividido pelo valor exato:
ER = EA / |Zexata| = |δ| ≤ 2^(–7).
Ou seja, garantimos que o resultado de X+Y tem, no máximo, uma distorção de 2^(–7) ≃ 7,8×10^(–3)%.
ER = EA / |Zexata| = |δ| ≤ 2^(–7).
Ou seja, garantimos que o resultado de X+Y tem, no máximo, uma distorção de 2^(–7) ≃ 7,8×10^(–3)%.
Resposta
EA(X+Y) ≤ 2^(–7)·|X+Y|
ER(X+Y) ≤ 2^(–7)
ER(X+Y) ≤ 2^(–7)