Considere a máquina de ponto flutuante
com arredondamento.
Escreva os números abaixo na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo em cada caso:
(b) 0,75
(b) 0,75
Passo 1
O enunciado dá a máquina de ponto flutuante
com arredondamento e pede, para o número
, que se:
- escreva esse número na forma da máquina (ou seja, a representação normalizada que a máquina armazenaria);
- determine o erro absoluto;
- determine o erro relativo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- base
; - número de dígitos da mantissa
(ou seja, a mantissa normalizada tem dígitos binários, incluindo o dígito leading); - intervalo de expoentes é
; - modo de arredondamento: arredondamento para o vizinho mais próximo (round to nearest).
Passo 2
Entender o formato da máquina (aula rápida e prática):
- Numa máquina
com e números normalizados, qualquer número (não nulo) representável tem a forma
onde
. Em base 2 o dígito líder
é sempre
. Assim a mantissa tem a forma
e há exatamente
dígitos binários na mantissa (contando o
inicial).
- Com
a mantissa tem 4 bits: . - O processo prático para representar um decimal é:
- converter para binário;
- normalizar na forma
; - ajustar (arredondar) a mantissa para ter exatamente
bits; - verificar que o expoente
está em .
- Erros:
- erro absoluto:
, onde é o número exato e é a representação da máquina; - erro relativo:
(quando ).
- erro absoluto:
Passo 3
Converter
para binário (passo a passo didático):
- Multiplica-se a parte fracionária por
sucessivamente: -
→ parte inteira , resta . -
→ parte inteira , resta .
-
- Os bits obtidos, em ordem, são
depois . Portanto a parte fracionária em binário é . - Logo
Passo 4
Normalizar o binário e determinar expoente:
- Escrever
na forma . Para isso desloca-se a vírgula uma posição à direita:
- Assim a forma normalizada é
. O expoente é , que está dentro do intervalo , portanto não há underflow/overflow.
Passo 5
Ajustar a mantissa ao número de dígitos
com arredondamento:
- A mantissa já normalizada é
seguida de zeros infinitos: . - Precisamos de
dígitos binários na mantissa: . Então tomamos os primeiros dígitos: . - Verificar se há necessidade de arredondar: os bits além de
são zeros (pois converteu exatamente), então não há bit de “sobra” igual a que obrigue arredondamento para cima. Portanto a representação com arredondamento para o mais próximo é exatamente
- Como número decimal, podemos checar rapidamente:
-
. - Multiplicando por
: .
-
- Conclusão: o número é representado exatamente na máquina; não houve perda.
Passo 6
Calcular o erro absoluto:
- Fórmula do erro absoluto:
- Aqui
e (representação exata), logo
Passo 7
Calcular o erro relativo:
- Fórmula do erro relativo (quando
):
- Como o erro absoluto é
, temos
Resposta
Representação na máquina:
Erro absoluto:
Erro relativo:
Erro absoluto:
Erro relativo: