Considere a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento.
Escreva os números abaixo na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo em cada caso:
(b) 0,75

Passo 1

O enunciado dá a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento e pede, para o número 0,75, que se:
  • escreva esse número na forma da máquina (ou seja, a representação normalizada que a máquina armazenaria);
  • determine o erro absoluto;
  • determine o erro relativo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • base \beta=2;
  • número de dígitos da mantissa t=4 (ou seja, a mantissa normalizada tem 4 dígitos binários, incluindo o dígito leading);
  • intervalo de expoentes é -3\le e\le 3;
  • modo de arredondamento: arredondamento para o vizinho mais próximo (round to nearest).

Passo 2

Entender o formato da máquina (aula rápida e prática):
  • Numa máquina \mathcal{M}(\beta,t,L,U) com \beta=2 e números normalizados, qualquer número (não nulo) representável tem a forma
\pm (d_0.d_1 d_2 \dots d_{t-1})_2 \times 2^{e},
onde d_0\neq 0. Em base 2 o dígito líder d_0 é sempre 1. Assim a mantissa tem a forma 1.b_1 b_2 \dots b_{t-1} e há exatamente t dígitos binários na mantissa (contando o 1 inicial).
  • Com t=4 a mantissa tem 4 bits: 1.b_1 b_2 b_3.
  • O processo prático para representar um decimal é:
    1. converter para binário;
    2. normalizar na forma 1.\text{(bits)}\times2^{e};
    3. ajustar (arredondar) a mantissa para ter exatamente t bits;
    4. verificar que o expoente e está em [L,U].
  • Erros:
    • erro absoluto: |x - \tilde{x}|, onde x é o número exato e \tilde{x} é a representação da máquina;
    • erro relativo: \dfrac{|x-\tilde{x}|}{|x|} (quando x\neq 0).

Passo 3

Converter 0,75 para binário (passo a passo didático):
  • Multiplica-se a parte fracionária por 2 sucessivamente:
    1. 0{,}75\times 2 = 1{,}5 → parte inteira 1, resta 0{,}5.
    2. 0{,}5\times 2 = 1{,}0 → parte inteira 1, resta 0{,}0.
  • Os bits obtidos, em ordem, são 1 depois 1. Portanto a parte fracionária em binário é (0{,}11)_2.
  • Logo
0{,}75 = (0{,}11)_2.

Passo 4

Normalizar o binário e determinar expoente:
  • Escrever (0{,}11)_2 na forma 1.\text{(bits)}\times 2^{e}. Para isso desloca-se a vírgula uma posição à direita:
(0{,}11)_2 = (1{,}1)_2 \times 2^{-1}.
  • Assim a forma normalizada é 1{,}1_2\times 2^{-1}. O expoente é e=-1, que está dentro do intervalo [-3,3], portanto não há underflow/overflow.

Passo 5

Ajustar a mantissa ao número de dígitos t=4 com arredondamento:
  • A mantissa já normalizada é 1{,}1 seguida de zeros infinitos: 1{,}1000\ldots_2.
  • Precisamos de t=4 dígitos binários na mantissa: 1.b_1 b_2 b_3. Então tomamos os primeiros 4 dígitos: 1{,}100.
  • Verificar se há necessidade de arredondar: os bits além de b_3 são zeros (pois 0{,}11_2 converteu exatamente), então não há bit de “sobra” igual a 1 que obrigue arredondamento para cima. Portanto a representação com arredondamento para o mais próximo é exatamente
\tilde{x} = (1{,}100)_2 \times 2^{-1}.
  • Como número decimal, podemos checar rapidamente:
    • (1{,}100)_2 = 1\cdot 2^0 + 1\cdot 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} + 0\cdot 2^{-3} = 1 + 0{,}5 = 1{,}5.
    • Multiplicando por 2^{-1}: 1{,}5\times 2^{-1} = 0{,}75.
  • Conclusão: o número é representado exatamente na máquina; não houve perda.

Passo 6

Calcular o erro absoluto:
  • Fórmula do erro absoluto:
\text{erro absoluto} = |x - \tilde{x}|.
  • Aqui x=0{,}75 e \tilde{x}=0{,}75 (representação exata), logo
\text{erro absoluto} = |0{,}75 - 0{,}75| = 0.

Passo 7

Calcular o erro relativo:
  • Fórmula do erro relativo (quando x\neq 0):
\text{erro relativo} = \frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}.
  • Como o erro absoluto é 0, temos
\text{erro relativo} = \frac{0}{|0{,}75|} = 0.

Resposta

Representação na máquina: (1{,}100)_2 \times 2^{-1} = 0{,}75
Erro absoluto: 0
Erro relativo: 0

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