Considere a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento.
Escreva os números abaixo na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo em cada caso:
(a) 6,5

Passo 1

O enunciado pede que, para a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento, eu escreva o número 6,5 na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
  • base \beta = 2;
  • precisão (número de dígitos) t = 4;
  • intervalo de expoentes L = -3 e U = 3;
  • modo de arredondamento: arredondamento para o mais próximo (round to nearest).
    O que preciso entregar:
  • a representação em ponto flutuante (a forma armazenada pela máquina) de 6,5;
  • o erro absoluto |\,6,5 - \mathrm{fl}(6,5)\,|;
  • o erro relativo \dfrac{|\,6,5 - \mathrm{fl}(6,5)\,|}{|6,5|}.

Passo 2

Explicando como funciona a forma normalizada nessa máquina (passo-a-passo didático e concreto).
Numa máquina com \beta=2 e t=4 os números normalizados têm a forma
(-1)^s\,(d_0.d_1d_2d_3)_2 \times 2^e,
onde:
  • s é o sinal (aqui s=0 porque 6,5>0);
  • d_0 é o dígito mais significativo e, em normalização, d_0=1 (não pode ser zero);
  • há, no total, t=4 dígitos na mantissa (ou seja, 1 dígito inteiro d_0 + t-1=3 dígitos fracionários);
  • o expoente e deve satisfazer L \le e \le U, isto é, -3 \le e \le 3.
    Arredondamento: se a representação exacta necessita de mais do que t dígitos, deve-se arredondar ao número da máquina mais próximo (regra usual de arredondamento para o mais próximo).

Passo 3

Converter 6,5 para binário (mostrando cada etapa).
  • Parte inteira: 6_{10}=110_2 porque 6=4+2.
  • Parte fracionária: 0,5_{10}=0,1_2 porque 0,5 = 1/2.
    Então
6,5_{10} = 110{,}1_2.

Passo 4

Normalizar a escrita binária: mover o ponto para obter um dígito não nulo antes do ponto.
110{,}1_2 = 1{,}101_2 \times 2^2,
porque deslocamos o ponto dois lugares à esquerda (multiplicando por 2^2). Aqui a mantissa normalizada é 1{,}101_2 e o expoente é e=2.

Passo 5

Verificar se a mantissa cabe exatamente em t=4 dígitos e se o expoente está no intervalo permitido.
  • A mantissa 1{,}101_2 tem exatamente 1 dígito inteiro + 3 dígitos fracionários, total t=4. Logo não há necessidade de arredondamento.
  • O expoente e=2 satisfaz -3 \le 2 \le 3. Portanto o número é representável exatamente na máquina.
    Logo a representação máquina (valores armazenados) é
\mathrm{fl}(6,5) = 1{,}101_2 \times 2^2.

Passo 6

Converter a representação da máquina de volta para decimal para verificar (contando passo a passo):
1{,}101_2 = 1 + \tfrac{1}{2} + 0\cdot\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} = 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 1,625.
Multiplicando pelo expoente:
1,625 \times 2^2 = 1,625 \times 4 = 6,5.
Portanto \mathrm{fl}(6,5) = 6,5 exatamente.

Passo 7

Calcular os erros pedido (usando fórmulas padrão e substituindo):
  • erro absoluto:
\text{erro absoluto} = \bigl|\,6,5 - \mathrm{fl}(6,5)\,\bigr| = |6,5 - 6,5| = 0.
  • erro relativo:
\text{erro relativo} = \frac{\bigl|\,6,5 - \mathrm{fl}(6,5)\,\bigr|}{|6,5|} = \frac{0}{6,5} = 0.

Resposta

(a) \mathrm{fl}(6,5)=1{,}101_2\times 2^2 = 6,5
erro absoluto =0
erro relativo =0

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