Considere a máquina de ponto flutuante
com arredondamento.
Escreva os números abaixo na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo em cada caso:
(e) 0,1
(e) 0,1
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se escrever
na forma da máquina de ponto flutuante com arredondamento e calcular o erro absoluto e o erro relativo. - Dados da máquina (peguei estes parâmetros do enunciado):
- base
; - precisão
dígitos na mantissa (formato normalizado ); - menor expoente permitido
; - maior expoente permitido
; - arredondamento para o número representável mais próximo (round-to-nearest).
- base
- O que vou entregar no final: a representação na máquina (mantissa e expoente), o erro absoluto
e o erro relativo .
Passo 2
Converter
(decimal) para binário para entender a expansão.
Fazendo multiplicações sucessivas por
obtém-se a expansão binária periódica:
ou seja, em binário a sequência de bits é
com o padrão
repetindo.
Explicação curta de como se obteve: multiplicando
por
repetidas vezes surgem os bits
, produzindo a repetição
.
Passo 3
Normalizar a expansão binária (colocar na forma
):
Portanto a representação binária normalizada exata é
Aqui o expoente real é
.
Passo 4
Verificar o intervalo de expoentes permitido pela máquina:
- A máquina só aceita expoentes inteiros
com . - O expoente real de
é , que é menor que . Logo NÃO pode ser representado como número normalizado com expoente na máquina; temos que aproximá-lo pelo número representável mais próximo dentro da máquina (arredondamento).
Observação: os números normalizados representáveis com o menor expoente
têm a forma
. O menor número positivo normalizado na máquina é
Também há a possibilidade de arredondar para
, mas devemos escolher o número representável (entre
e os normalizados) que fica mais próximo de
.
Passo 5
Comparar distâncias para escolher o arredondamento por aproximação ao mais próximo:
- Distância de
a : . - Distância de
ao menor normalizado : . - Para ter certeza também calcule a distância ao próximo número normalizado
: .
Comparando:
. Portanto o número representável mais próximo é
.
Passo 6
Concluir a representação na máquina com arredondamento:
A aproximação máquina (arredondada) é
Em decimal isso vale
.
Passo 7
Calcular o erro absoluto:
Passo 8
Calcular o erro relativo:
Resposta
Erro absoluto
Erro relativo