Considere a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento.
Escreva os números abaixo na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo em cada caso:
(e) 0,1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se escrever 0{,}1 na forma da máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento e calcular o erro absoluto e o erro relativo.
  • Dados da máquina (peguei estes parâmetros do enunciado):
    • base \beta=2;
    • precisão t=4 dígitos na mantissa (formato normalizado \pm(1.b_1b_2b_3)_2\times2^{e});
    • menor expoente permitido L=-3;
    • maior expoente permitido U=3;
    • arredondamento para o número representável mais próximo (round-to-nearest).
  • O que vou entregar no final: a representação na máquina (mantissa e expoente), o erro absoluto |\text{valor real} - \text{valor máquina}|á e o erro relativo \dfrac{|\text{erro absoluto}|}{|\text{valor real}|}.

Passo 2

Converter 0{,}1 (decimal) para binário para entender a expansão.
Fazendo multiplicações sucessivas por 2 obtém-se a expansão binária periódica:
0{,}1_{10} = 0{,}0001100110011\ldots_2,
ou seja, em binário a sequência de bits é 0.0001100110011\ldots_2 com o padrão 0011 repetindo.
Explicação curta de como se obteve: multiplicando 0{,}1 por 2 repetidas vezes surgem os bits 0,0,0,1,1,0,0,1,1,\ldots, produzindo a repetição 0011.

Passo 3

Normalizar a expansão binária (colocar na forma 1.\text{algo}\times2^{e}):
0{,}0001100110011\ldots_2 = 1{,}1001100110011\ldots_2 \times 2^{-4}.
Portanto a representação binária normalizada exata é
0{,}1 = 1{,}1001100110011\ldots_2 \times 2^{-4}.
Aqui o expoente real é e=-4.

Passo 4

Verificar o intervalo de expoentes permitido pela máquina:
  • A máquina só aceita expoentes inteiros e com -3 \le e \le 3.
  • O expoente real de 0{,}1 é e=-4, que é menor que L=-3. Logo 0{,}1 NÃO pode ser representado como número normalizado com expoente -4 na máquina; temos que aproximá-lo pelo número representável mais próximo dentro da máquina (arredondamento).
Observação: os números normalizados representáveis com o menor expoente e=-3 têm a forma (1.b_1b_2b_3)_2\times2^{-3}. O menor número positivo normalizado na máquina é
(1{,}000)_2\times2^{-3} = 1{,}000_2 \times 2^{-3} = 0{,}125_{10}.
Também há a possibilidade de arredondar para 0, mas devemos escolher o número representável (entre 0 e os normalizados) que fica mais próximo de 0{,}1.

Passo 5

Comparar distâncias para escolher o arredondamento por aproximação ao mais próximo:
  • Distância de 0{,}1 a 0: |0{,}1-0| = 0{,}1.
  • Distância de 0{,}1 ao menor normalizado (1{,}000)_2\times2^{-3}=0{,}125: |0{,}1-0{,}125| = 0{,}025.
  • Para ter certeza também calcule a distância ao próximo número normalizado (1{,}001)_2\times2^{-3}=0{,}140625: |0{,}1-0{,}140625|=0{,}040625.
Comparando: 0{,}025 < 0{,}040625 < 0{,}1. Portanto o número representável mais próximo é (1{,}000)_2\times2^{-3}.

Passo 6

Concluir a representação na máquina com arredondamento:
A aproximação máquina (arredondada) é
\fl(0{,}1) = (1{,}000)_2 \times 2^{-3}.
Em decimal isso vale 0{,}125.

Passo 7

Calcular o erro absoluto:
\text{erro absoluto} = \big|0{,}1 - 0{,}125\big| = 0{,}025 = \frac{1}{40}.

Passo 8

Calcular o erro relativo:
\text{erro relativo} = \frac{0{,}025}{0{,}1} = 0{,}25 = \frac{1}{4}.

Resposta

\fl(0{,}1) = (1{,}000)_2 \times 2^{-3} = 0{,}125
Erro absoluto = 0{,}025
Erro relativo = 0{,}25

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