Na mesma máquina, efetue as operações abaixo com arredondamento a cada etapa. Compare com o valor exato e determine os erros absoluto e relativo.
(b) 5,5-2,375

Passo 1

O enunciado pede que, na mesma máquina, seja efetuada a operação com arredondamento a cada etapa, que o resultado seja comparado com o valor exato e que se calcule o erro absoluto e o erro relativo. Os dados do problema são:
  • Operação: 5,5 - 2,375.
    As tarefas pedidas são:
  • Executar a operação com arredondamento em cada etapa (usar um modelo de máquina consistente);
  • Calcular o valor exato da operação;
  • Determinar o erro absoluto entre o resultado da máquina e o valor exato;
  • Determinar o erro relativo entre o resultado da máquina e o valor exato.

Passo 2

Como o enunciado não especifica quantos dígitos a máquina guarda, vou assumir um modelo simples e muito usado em exercícios: uma máquina decimal que guarda 3 algarismos significativos e usa arredondamento para o vizinho mais próximo (arredondamento para o par não é necessário aqui). Vou explicar o que isso significa antes de aplicar.

Passo 3

O que é “3 algarismos significativos” e “arredondamento”:
  • Guardar 3 algarismos significativos significa que, ao representar um número na máquina, só mantemos os 3 primeiros dígitos não nulos (contando da esquerda para a direita) e arredondamos o restante.
  • Regra de arredondamento usada: se o dígito seguinte for \ge 5 arredonda-se para cima; se for <5 arredonda-se para baixo.
    Exemplo rápido: 2,375 com 3 algarismos significativos vira 2,38 porque o quarto dígito é 5 e arredonda o 7 para 8.

Passo 4

Primeira etapa prática: representar os operandos na máquina (arredondando cada um para 3 algarismos significativos).
  • Para 5,5: escrevendo com três algarismos significativos fica 5,50. Em notação de 3 s.f. mantemos 5,50 (o zero final é significativo aqui).
  • Para 2,375: arredondando para 3 algarismos significativos temos 2,38 (porque o quarto algarismo é 5, então 2,37 vira 2,38).
    Portanto, os operandos na máquina são \,5,50 e \,2,38.

Passo 5

Agora efetuamos a subtração na máquina usando os operandos já arredondados e, se houver necessidade, arredondamos o resultado também para 3 algarismos significativos (arredondamento a cada etapa foi aplicado aos operandos e será aplicado ao resultado final).
Alinhando e subtraindo:
5,50 - 2,38 = 3,12
O resultado tem três algarismos significativos já ( 3,12), então não precisa de novo arredondamento. Logo o resultado da máquina é \,3,12.

Passo 6

Calcular o valor exato da operação (sem arredondamento intermediário):
5,5 - 2,375 = 3,125.

Passo 7

Calcular o erro absoluto: é a diferença em módulo entre o resultado da máquina e o exato.
\text{erro absoluto} = \left|3,12 - 3,125\right| = 0,005.

Passo 8

Calcular o erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor exato (quando o valor exato é diferente de zero).
\text{erro relativo} = \dfrac{0,005}{3,125} = 0,0016.
Em porcentagem isso é 0,0016 \times 100\% = 0,16\%.

Passo 9

Interpretação curta (motivação): a principal fonte de erro aqui foi o arredondamento do operando 2,375 para 2,38 antes de subtrair; como 5,5 teve representação exata com três dígitos ( 5,50), a perda veio do arredondamento do segundo número. O erro absoluto é pequeno ( 5\times10^{-3}) e o erro relativo é muito pequeno ( 0,16\%), então a máquina com 3 dígitos significativos fornece um resultado bastante próximo do exato neste caso.

Resposta

Resultado da máquina (3 algarismos significativos): 3,12
Valor exato: 3,125
Erro absoluto: 0,005
Erro relativo: 0,0016 (ou 0,16\%)

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