Na mesma máquina, efetue as operações abaixo com arredondamento a cada etapa. Compare com o valor exato e determine os erros absoluto e relativo.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que, na mesma máquina, seja efetuada a operação com arredondamento a cada etapa, que o resultado seja comparado com o valor exato e que se calcule o erro absoluto e o erro relativo. Os dados do problema são:
- Operação:
.
As tarefas pedidas são: - Executar a operação com arredondamento em cada etapa (usar um modelo de máquina consistente);
- Calcular o valor exato da operação;
- Determinar o erro absoluto entre o resultado da máquina e o valor exato;
- Determinar o erro relativo entre o resultado da máquina e o valor exato.
Passo 2
Como o enunciado não especifica quantos dígitos a máquina guarda, vou assumir um modelo simples e muito usado em exercícios: uma máquina decimal que guarda
algarismos significativos e usa arredondamento para o vizinho mais próximo (arredondamento para o par não é necessário aqui). Vou explicar o que isso significa antes de aplicar.
Passo 3
O que é “3 algarismos significativos” e “arredondamento”:
- Guardar
algarismos significativos significa que, ao representar um número na máquina, só mantemos os primeiros dígitos não nulos (contando da esquerda para a direita) e arredondamos o restante. - Regra de arredondamento usada: se o dígito seguinte for
arredonda-se para cima; se for arredonda-se para baixo.
Exemplo rápido:com algarismos significativos vira porque o quarto dígito é e arredonda o para .
Passo 4
Primeira etapa prática: representar os operandos na máquina (arredondando cada um para
algarismos significativos).
- Para
: escrevendo com três algarismos significativos fica . Em notação de 3 s.f. mantemos (o zero final é significativo aqui). - Para
: arredondando para algarismos significativos temos (porque o quarto algarismo é , então vira ).
Portanto, os operandos na máquina sãoe .
Passo 5
Agora efetuamos a subtração na máquina usando os operandos já arredondados e, se houver necessidade, arredondamos o resultado também para
algarismos significativos (arredondamento a cada etapa foi aplicado aos operandos e será aplicado ao resultado final).
Alinhando e subtraindo:
Alinhando e subtraindo:
O resultado tem três algarismos significativos já (
), então não precisa de novo arredondamento. Logo o resultado da máquina é
.
Passo 6
Calcular o valor exato da operação (sem arredondamento intermediário):
Passo 7
Calcular o erro absoluto: é a diferença em módulo entre o resultado da máquina e o exato.
Passo 8
Calcular o erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor exato (quando o valor exato é diferente de zero).
Em porcentagem isso é
.
Passo 9
Interpretação curta (motivação): a principal fonte de erro aqui foi o arredondamento do operando
para
antes de subtrair; como
teve representação exata com três dígitos (
), a perda veio do arredondamento do segundo número. O erro absoluto é pequeno (
) e o erro relativo é muito pequeno (
), então a máquina com 3 dígitos significativos fornece um resultado bastante próximo do exato neste caso.
Resposta
Resultado da máquina (3 algarismos significativos):
Valor exato:
Erro absoluto:
Erro relativo: (ou
)
Valor exato:
Erro absoluto:
Erro relativo: