Na mesma máquina, efetue as operações abaixo com arredondamento a cada etapa. Compare com o valor exato e determine os erros absoluto e relativo.
(a) 1,5+0,125
Passo 1
O enunciado pede que, “na mesma máquina”, eu efetue a operação \,1,5+0,125, com arredondamento a cada etapa, compare com o valor exato e determine os erros absoluto e relativo. Vou assumir que “a mesma máquina” significa uma máquina de ponto flutuante decimal com t=3 algarismos significativos e que o arredondamento é para o inteiro mais próximo (arredondamento para o mais próximo). Escolhi t=3 porque é a escolha padrão em exercícios didáticos quando o número de dígitos não é especificado; se sua prova usar outro t, o procedimento é o mesmo, só mudam os números.
Rápida aula sobre o que vamos usar (sem mistério): arredondamento a t algarismos significativos significa que cada número é representado mantendo os t primeiros algarismos não nulos da mantissa; depois faz-se a operação e o resultado também é arredondado para t algarismos. A forma normalizada em base 10 que usaremos tem a aparência \,d_1.d_2d_3\times10^{e}, onde d_1 é não nulo e há exatamente t dígitos significativos na mantissa.
Passo 2
Representar os dois operandos na máquina (arredondando cada um para t=3 algarismos significativos):
\,1,5 já tem menos de três algarismos significativos; representamos como \,1,50\times10^{0} (mantissa com 3 algarismos: 1,50).
\,0,125 tem três algarismos significativos; na forma normalizada é \,1,25\times10^{-1}. Assim, em notação com expoente 0 (para alinhar), é \,0,125\times10^{0}. Ambos estão representados na máquina com t=3 sem necessidade de alterar os dígitos.
Passo 3
Alinhar expoentes e somar as mantissas (arredondando o resultado final para t algarismos):
Somando as mantissas exatamente (antes de arredondar o resultado):
1,50 + 0,125 = 1,625.
Passo 4
Arredondar o resultado da soma para t=3 algarismos significativos, com regra “arredondar para o mais próximo”. O número 1,625 tem dígitos significativos 1,\;6,\;2 e o próximo dígito é 5, portanto arredonda-se o terceiro dígito para cima:
1,625 \longrightarrow 1,63.
Logo o resultado na máquina (com arredondamento a cada etapa) é \,1,63.
Passo 5
Valor exato da soma (sem arredondamento):
1,5 + 0,125 = 1,625.
Passo 6
Erro absoluto: diferença entre o resultado da máquina e o valor exato:
Interpretação rápida e encorajamento: o arredondamento fez o resultado ficar ligeiramente maior (+0,005). O erro relativo é pequeno (cerca de 0,3\%), então para esta soma a perda de precisão com t=3 não é dramática. Boa lembrança para a prova: sempre alinhar expoentes, somar as mantissas e depois arredondar o resultado para os t algarismos significativos da máquina.
Resposta
Resultado na máquina (arredondando a cada etapa, t=3): 1,63
Valor exato: 1,625
Erro absoluto: 0,005
Erro relativo: 0,003077 (aprox.)