Considere a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento.
Escreva os números abaixo na forma da máquina e determine o erro absoluto e o erro relativo em cada caso:
0,1

Passo 1

O enunciado dá a máquina de ponto flutuante M(2,4,-3,3) com arredondamento e pede, para o número 0,1:\n
  • escrever o número na forma da máquina (ou seja, a representação em ponto flutuante da máquina);\n
  • calcular o erro absoluto |x-\operatorname{fl}(x)|;\n
  • calcular o erro relativo \dfrac{|x-\operatorname{fl}(x)|}{|x|}.\n
    Dados fornecidos que vamos usar explicitamente: \beta=2, p=4, e_{\min}=-3, e_{\max}=3; arredondamento para o número representável mais próximo.

Passo 2

O que significa a forma da máquina M(2,4,-3,3): os números representáveis (normalizados) têm a forma
\pm(d_1.d_2d_3d_4)_2 \times 2^{e},
com d_1\in\{1\} (ou seja, d_1=1 porque é normalizado), d_i\in\{0,1\} para i\ge2 e e_{\min}\le e\le e_{\max}. Assim a menor mantissa normalizada vale 1{,}000_2 e o menor número positivo normalizado vale
1{,}000_2\times 2^{e_{\min}} = 1{,}000_2\times 2^{-3} = 2^{-3} = \frac{1}{8}=0,125.
O arredondamento significa que \operatorname{fl}(x) é o número representável mais próximo de x (em caso de empate, regra usual: escolher o que for compatível com a convenção — aqui não ocorrerá empate relevante).

Passo 3

Vamos escrever 0,1 em binário para ver sua forma exata e a mantissa que precisaríamos.\n
Usando multiplicação por 2 sucessiva para a parte fracionária:
\begin{array}{l} 0{,}1\times 2 = 0{,}2 \Rightarrow \text{bit }0,\\[2pt] 0{,}2\times 2 = 0{,}4 \Rightarrow \text{bit }0,\\[2pt] 0{,}4\times 2 = 0{,}8 \Rightarrow \text{bit }0,\\[2pt] 0{,}8\times 2 = 1{,}6 \Rightarrow \text{bit }1 \text{ (resto }0{,}6),\\[2pt] 0{,}6\times 2 = 1{,}2 \Rightarrow \text{bit }1 \text{ (resto }0{,}2), \end{array}
e daí volta a aparecer o resto 0{,}2: os bits repetem com o padrão 0011. Logo
0{,}1_{10} = 0{,}0001100110011\ldots_2.
Para normalizar (colocar na forma 1.\, × 2^{e}) deslocamos até o primeiro 1:
0{,}000110011\ldots_2 = 1{,}100110011\ldots_2 \times 2^{-4}.]

Passo 4

O exponente que surge na normalização é e=-4, mas a máquina só aceita e\ge e_{\min}=-3. Portanto a forma normalizada exata de 0,1 não é representável na faixa de expoentes permitida. Os candidatos mais próximos na malha de números normalizados são:\n
  • 0 (zero), cujo valor é 0;\n
  • o menor positivo normalizado 1{,}000_2\times 2^{-3} = 2^{-3} = 0{,}125.\n
    Como arredondamos para o mais próximo, comparamos distâncias:
|0{,}1-0|=0{,}1,\qquad |0{,}1-0{,}125|=0{,}025.
Como 0{,}025<0{,}1, o número representável mais próximo é 0{,}125. Assim
\operatorname{fl}(0{,}1)=1{,}000_2\times 2^{-3}.

Passo 5

Agora calculamos o erro absoluto e relativo.\n
Erro absoluto:
|0{,}1-\operatorname{fl}(0{,}1)| = \left|\frac{1}{10}-\frac{1}{8}\right| = \left|\frac{4-5}{40}\right|=\frac{1}{40}=0{,}025.
Erro relativo:
\frac{|0{,}1-\operatorname{fl}(0{,}1)|}{|0{,}1|} = \frac{\tfrac{1}{40}}{\tfrac{1}{10}} = \frac{1}{4}=0{,}25 = 25\%.

Resposta

\operatorname{fl}(0{,}1)=1{,}000_2\times 2^{-3}=0{,}125\n
Erro absoluto =0{,}025\n
Erro relativo =0{,}25

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