Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
(e) 543.21987 ;

Passo 1

O enunciado pede: para o sistema de ponto flutuante com base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos e expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5, escrever a representação de \;543,21987\; tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
Informações dadas e relevantes:
  • Base: \beta=10.
  • Número de dígitos na mantissa: t=4.
  • Intervalo do expoente: -5 \le e \le +5.
  • Número a representar: \;543,21987\;.
  • É necessário fornecer as duas representações (truncamento e arredondamento).

Passo 2

O que é a forma normalizada de ponto flutuante (explicação didática):
Um número no formato normalizado em base \beta é escrito como
\pm (d_0.d_1 d_2 \dots d_{t-1})_{\beta} \times \beta^{e},
onde:
  • d_0 é o primeiro dígito da mantissa e deve satisfazer 1 \le d_0 \le \beta-1 (ou seja, não pode ser zero);
  • d_1,d_2,\dots,d_{t-1} são os dígitos seguintes da mantissa (cada um entre 0 e \beta-1);
  • t é o número total de dígitos significativos guardados na mantissa (aqui t=4);
  • e é o expoente inteiro que posiciona a vírgula decimal.
    Regra prática para o nosso caso: escrever o número em notação científica base 10 com exatamente 4 dígitos significativos na mantissa (ajustando por truncamento ou arredondamento) e verificar que o expoente resultante está dentro de -5 a +5.

Passo 3

Primeiro passo concreto: escrever \;543,21987\; em notação científica (base 10), normalizada:
543,21987 = 5,4321987 \times 10^{2}.
Aqui o primeiro dígito da mantissa é 5 (não nulo), portanto a forma está normalizada e o expoente é e=2, que está dentro do intervalo permitido -5 \le 2 \le +5.

Passo 4

Truncamento (como fazer e aplicação):
  • Regra do truncamento: cortar (desconsiderar) todos os dígitos da mantissa após os t primeiros, sem alterar o t-ésimo dígito.
  • Na mantissa 5,4321987 os quatro primeiros dígitos significativos são 5,4,3,2. Cortamos o resto (os dígitos 1,9,8,7).
    Portanto, a mantissa truncada fica 5,432 e a representação em ponto flutuante por truncamento é
5,432 \times 10^{2}.
Como valor decimal isso corresponde a
5,432 \times 10^{2} = 543,2.

Passo 5

Arredondamento (como fazer e aplicação):
  • Regra usual de arredondamento para t dígitos: olhar o dígito imediatamente após o t-ésimo. Se esse dígito for \ge 5 incrementa-se o t-ésimo dígito (com propagação de carry se necessário); se for <5 mantém-se o t-ésimo dígito. (Aqui usamos o arredondamento para o mais próximo.)
  • Na mantissa 5,4321987 o quinto dígito é 1, que é <5. Logo não há incremento do quarto dígito.
    Portanto, a mantissa arredondada também fica 5,432 e a representação em ponto flutuante por arredondamento é
5,432 \times 10^{2},
que novamente vale 543,2.

Passo 6

Verificação de validade e erros (checagem didática):
  • O expoente usado é e=2, que está no intervalo permitido, então não há overflow nem underflow.
  • Erro absoluto entre o número original e a aproximação (qualquer uma das duas, já que deram o mesmo resultado):
\text{erro absoluto} = 543,21987 - 543,2 = 0,01987.
  • Erro relativo aproximado:
\frac{0,01987}{543,21987} \approx 3,66 \times 10^{-5}.
Isso mostra que a aproximação com t=4 dígitos foi bastante precisa para este número.

Resposta

Truncamento: 5,432 \times 10^{2} = 543,2
Arredondamento: 5,432 \times 10^{2} = 543,2

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