Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base
, mantissa com
dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo
. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
(e) 543.21987 ;
(e) 543.21987 ;
Passo 1
O enunciado pede: para o sistema de ponto flutuante com base
, mantissa com
dígitos significativos e expoente inteiro no intervalo
, escrever a representação de
tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- Base:
. - Número de dígitos na mantissa:
. - Intervalo do expoente:
. - Número a representar:
. - É necessário fornecer as duas representações (truncamento e arredondamento).
Passo 2
O que é a forma normalizada de ponto flutuante (explicação didática):
Um número no formato normalizado em base é escrito como
Um número no formato normalizado em base
onde:
-
é o primeiro dígito da mantissa e deve satisfazer (ou seja, não pode ser zero); -
são os dígitos seguintes da mantissa (cada um entre e ); -
é o número total de dígitos significativos guardados na mantissa (aqui ); -
é o expoente inteiro que posiciona a vírgula decimal.
Regra prática para o nosso caso: escrever o número em notação científica basecom exatamente 4 dígitos significativos na mantissa (ajustando por truncamento ou arredondamento) e verificar que o expoente resultante está dentro de a .
Passo 3
Primeiro passo concreto: escrever
em notação científica (base
), normalizada:
Aqui o primeiro dígito da mantissa é
(não nulo), portanto a forma está normalizada e o expoente é
, que está dentro do intervalo permitido
.
Passo 4
Truncamento (como fazer e aplicação):
- Regra do truncamento: cortar (desconsiderar) todos os dígitos da mantissa após os
primeiros, sem alterar o -ésimo dígito. - Na mantissa
os quatro primeiros dígitos significativos são . Cortamos o resto (os dígitos ).
Portanto, a mantissa truncada ficae a representação em ponto flutuante por truncamento é
Como valor decimal isso corresponde a
Passo 5
Arredondamento (como fazer e aplicação):
- Regra usual de arredondamento para t dígitos: olhar o dígito imediatamente após o
-ésimo. Se esse dígito for incrementa-se o -ésimo dígito (com propagação de carry se necessário); se for mantém-se o -ésimo dígito. (Aqui usamos o arredondamento para o mais próximo.) - Na mantissa
o quinto dígito é , que é . Logo não há incremento do quarto dígito.
Portanto, a mantissa arredondada também ficae a representação em ponto flutuante por arredondamento é
que novamente vale
.
Passo 6
Verificação de validade e erros (checagem didática):
- O expoente usado é
, que está no intervalo permitido, então não há overflow nem underflow. - Erro absoluto entre o número original e a aproximação (qualquer uma das duas, já que deram o mesmo resultado):
- Erro relativo aproximado:
Isso mostra que a aproximação com
dígitos foi bastante precisa para este número.
Resposta
Truncamento:
Arredondamento:
Arredondamento: