Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede resolver a equação
onde usando o método de Newton com precisões . - As duas tolerâncias indicam que vamos usar como critérios de parada (padrão):
-
, e -
.
-
- Dado:
.
Passo 2
O método de Newton (a ideia e a fórmula).
- Ideia rápida: a cada iteração aproximamos
por sua reta tangente em e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como próximo ponto . - Fórmula do método de Newton:
Aqui: -
é a aproximação atual, -
é o valor da função nessa aproximação, -
é a derivada de em , -
é a próxima aproximação.
-
- Critérios de parada que usaremos: parar quando as duas condições acima forem satisfeitas simultaneamente.
Passo 3
Calcular
e observar propriedades importantes da função.
- Derivada:
- Observações úteis (isso vai nos dizer sobre existência/unicidade das raízes):
- Para
vale (propriedade conhecida do seno para ), logo . - Para
vale (simetricamente), logo . - Portanto
muda de sinal apenas em , e como concluímos que a única raiz real é . - Observação:
. A raiz é especial: é uma raiz de multiplicidade maior que 1 (na verdade a expansão em série mostra que , logo é raiz de multiplicidade 3). Isso influencia a velocidade de convergência do método de Newton (convergência lenta, aproximadamente fator por iteração para valores pequenos).
- Para
Passo 4
Aplicando Newton: expressão explícita da iteração para nossa
.
- Substituindo
e na fórmula de Newton: Essa é a regra que usaríamos caso quisessemos computar cada iteração com seno e cosseno exatos.
Passo 5
Escolha de um chute inicial e estratégia prática (motivação).
- Como a raiz é
e tem multiplicidade 3, é conveniente começar por um chute pequeno para evitar passos estranhos. Vou escolher (valor pequeno e fácil de manipular). - Para
pequeno podemos usar as expansões em série (Taylor) para simplificar a iteração e poder fazer as contas à mão: - Substituindo essas aproximações na fórmula de Newton (para
pequeno) obtemos: Ou seja, para já pequeno, a iteração de Newton aproxima-se da relação simples Essa relação é prática: reduz bastante o trabalho de cálculo de muitos passos (e é justificada pelo fato de a raiz ter multiplicidade 3).
Passo 6
Primeira iteração (usando o chute
) e verificação do critério
.
- Podemos calcular a primeira iteração com a aproximação rápida (Taylor), que neste caso dá com muita precisão:
- Já verificando
aproximadamente usando para pequeno: Então a condição sobre já fica satisfeita logo no primeiro passo (pela aproximação). - Contudo, a condição
não está satisfeita: Precisamos continuar.
Passo 7
Iterações usando a aproximação
até satisfazer
.
- Como vimos, para
pequeno a cada iteração o valor é multiplicado aproximadamente por . Vou usar essa relação para listar as iterações (cada linha: ). - Partindo de
: - Observação sobre os incrementos: para esta sequência (regra
) vale O critério fica assim , isto é . - Na lista acima, o primeiro termo menor que
é . Portanto a desigualdade sobre o incremento passa a ser verdadeira no passo seguinte, isto é, ao calcular temos ]
Passo 8
Verificação final dos dois critérios em
.
- Já vimos que
. - Verificar
: usando a aproximação para pequeno, Portanto a condição sobre também está satisfeita com folga. - Conclusão: ao computar
(pela regra aproximada), ambas as tolerâncias são satisfeitas, então podemos parar.
Passo 9
Comentário final sobre exatidão e sobre a raiz exata.
- Sabemos analiticamente que a única raiz exata da equação é
. - O método de Newton, devido à multiplicidade 3 da raiz, aproxima-se de
de forma relativamente lenta (fator aproximado por iteração quando já estamos em valores pequenos). Com as tolerâncias dadas, o método fornece a aproximação numérica que satisfaz e . Se quisermos uma aproximação numericamente mais próxima de basta iterar mais vezes.