Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001 :
f(x)=x-\operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede resolver a equação f(x)=0 onde f(x)=x-\operatorname{sen}(x),usando o método de Newton com precisões \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001.
  • As duas tolerâncias indicam que vamos usar como critérios de parada (padrão):
    • |f(x_n)|<\epsilon_{1}, e
    • |x_n-x_{n-1}|<\epsilon_{2}.
  • Dado: \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001.

Passo 2

O método de Newton (a ideia e a fórmula).
  • Ideia rápida: a cada iteração aproximamos f por sua reta tangente em x_n e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como próximo ponto x_{n+1}.
  • Fórmula do método de Newton: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.Aqui:
    • x_n é a aproximação atual,
    • f(x_n) é o valor da função nessa aproximação,
    • f'(x_n) é a derivada de f em x_n,
    • x_{n+1} é a próxima aproximação.
  • Critérios de parada que usaremos: parar quando as duas condições acima forem satisfeitas simultaneamente.

Passo 3

Calcular f'(x) e observar propriedades importantes da função.
  • Derivada: f'(x)=1-\cos(x).
  • Observações úteis (isso vai nos dizer sobre existência/unicidade das raízes):
    • Para x>0 vale \sin(x)<x (propriedade conhecida do seno para x>0), logo f(x)=x-\sin(x)>0.
    • Para x<0 vale \sin(x)>x (simetricamente), logo f(x)<0.
    • Portanto f muda de sinal apenas em x=0, e como f(0)=0 concluímos que a única raiz real é x=0.
    • Observação: f'(0)=1-\cos(0)=0. A raiz x=0 é especial: é uma raiz de multiplicidade maior que 1 (na verdade a expansão em série mostra que f(x)=x^3/6+O(x^5), logo é raiz de multiplicidade 3). Isso influencia a velocidade de convergência do método de Newton (convergência lenta, aproximadamente fator 2/3 por iteração para valores pequenos).

Passo 4

Aplicando Newton: expressão explícita da iteração para nossa f.
  • Substituindo f e f' na fórmula de Newton: x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-\sin(x_n)}{1-\cos(x_n)}.Essa é a regra que usaríamos caso quisessemos computar cada iteração com seno e cosseno exatos.

Passo 5

Escolha de um chute inicial e estratégia prática (motivação).
  • Como a raiz é 0 e tem multiplicidade 3, é conveniente começar por um chute pequeno para evitar passos estranhos. Vou escolher x_0=0,1 (valor pequeno e fácil de manipular).
  • Para x pequeno podemos usar as expansões em série (Taylor) para simplificar a iteração e poder fazer as contas à mão: \sin x = x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+O(x^4).
  • Substituindo essas aproximações na fórmula de Newton (para x pequeno) obtemos: x_{n+1}\approx x_n-\frac{\dfrac{x_n^3}{6}}{\dfrac{x_n^2}{2}}=x_n-\frac{x_n}{3}=\frac{2}{3}x_n.Ou seja, para x_n já pequeno, a iteração de Newton aproxima-se da relação simples x_{n+1}\approx\frac{2}{3}x_n.Essa relação é prática: reduz bastante o trabalho de cálculo de muitos passos (e é justificada pelo fato de a raiz ter multiplicidade 3).

Passo 6

Primeira iteração (usando o chute x_0=0,1) e verificação do critério |f(x)|.
  • Podemos calcular a primeira iteração com a aproximação rápida (Taylor), que neste caso dá com muita precisão: x_1\approx\frac{2}{3}x_0=\frac{2}{3}\cdot0,1=0,066666\ldots
  • Já verificando |f(x_1)| aproximadamente usando f(x)\approx x^3/6 para x pequeno: |f(x_1)|\approx\frac{x_1^3}{6}\approx\frac{(0,0666667)^3}{6}\approx4{,}93\times10^{-5}<0{,}0001.Então a condição sobre |f(x)|<\epsilon_1 já fica satisfeita logo no primeiro passo (pela aproximação).
  • Contudo, a condição |x_1-x_0|<\epsilon_2 não está satisfeita: |x_1-x_0|=0,0333333>0,0001.Precisamos continuar.

Passo 7

Iterações usando a aproximação x_{n+1}\approx\frac{2}{3}x_n até satisfazer |x_n-x_{n-1}|<0,0001.
  • Como vimos, para x pequeno a cada iteração o valor é multiplicado aproximadamente por 2/3. Vou usar essa relação para listar as iterações (cada linha: x_n).
  • Partindo de x_0=0,1: \begin{array}{l} x_0=0,1000000000\\[2pt] x_1\approx0,0666666667\\[2pt] x_2\approx0,0444444444\\[2pt] x_3\approx0,0296296296\\[2pt] x_4\approx0,0197530864\\[2pt] x_5\approx0,0131687243\\[2pt] x_6\approx0,0087791495\\[2pt] x_7\approx0,0058527663\\[2pt] x_8\approx0,0039018442\\[2pt] x_9\approx0,0026012295\\[2pt] x_{10}\approx0,0017341530\\[2pt] x_{11}\approx0,0011561020\\[2pt] x_{12}\approx0,0007707347\\[2pt] x_{13}\approx0,0005138231\\[2pt] x_{14}\approx0,0003425487\\[2pt] x_{15}\approx0,0002283658\\[2pt] x_{16}\approx0,0001522439\\[2pt] \end{array}
  • Observação sobre os incrementos: para esta sequência (regra x_{n+1}=\tfrac{2}{3}x_n) vale |x_n-x_{n-1}|=\frac{x_{n-1}}{3}.O critério |x_n-x_{n-1}|<0,0001 fica assim \dfrac{x_{n-1}}{3}<0,0001, isto é x_{n-1}<0,0003.
  • Na lista acima, o primeiro termo menor que 0,0003 é x_{15}\approx0,0002283658. Portanto a desigualdade sobre o incremento passa a ser verdadeira no passo seguinte, isto é, ao calcular x_{16} temos |x_{16}-x_{15}|=\frac{x_{15}}{3}\approx\frac{0,0002283658}{3}\approx0,0000761219<0,0001.]

Passo 8

Verificação final dos dois critérios em x_{16}.
  • Já vimos que |x_{16}-x_{15}|<0,0001.
  • Verificar |f(x_{16})|<0,0001: usando a aproximação f(x)\approx x^3/6 para x pequeno, |f(x_{16})|\approx\frac{(0,0001522439)^3}{6}\approx5{,}9\times10^{-13}\ll0{,}0001.Portanto a condição sobre |f(x)| também está satisfeita com folga.
  • Conclusão: ao computar x_{16} (pela regra aproximada), ambas as tolerâncias são satisfeitas, então podemos parar.

Passo 9

Comentário final sobre exatidão e sobre a raiz exata.
  • Sabemos analiticamente que a única raiz exata da equação é x=0.
  • O método de Newton, devido à multiplicidade 3 da raiz, aproxima-se de 0 de forma relativamente lenta (fator aproximado 2/3 por iteração quando já estamos em valores pequenos). Com as tolerâncias dadas, o método fornece a aproximação numérica x\approx0,0001522439que satisfaz |f(x)|<0,0001 e |x-x_{\text{anterior}}|<0,0001. Se quisermos uma aproximação numericamente mais próxima de 0 basta iterar mais vezes.

Resposta

x\approx0,0001522439

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