Converta os seguintes valores fracionários, da base 10 para a base 2 :
(b) 0,1_{10};

Passo 1

O enunciado pede para converter o número 0,1_{10} (ou seja, 0{,}1 na base decimal) para a base 2.
Informações dadas:
  • O número a converter é 0{,}1_{10}, que equivale a \dfrac{1}{10} em forma fracionária.
    O objetivo é obter a expansão binária 0,\ldots_2 correspondente.

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (aquele prático que você pode aplicar na prova): multiplicar a parte fracionária por 2 repetidas vezes; o inteiro resultante em cada multiplicação é o próximo dígito binário após a vírgula, e a parte fracionária resultante segue para a próxima iteração.
Por que isso funciona (explicação didática):
  • Suponha que a parte fracionária seja f com 0\le f<1.
  • Multiplicar por 2 2f = d_1 + f_1, onde d_1\in\{0,1\} é a parte inteira e f_1 é a nova parte fracionária.
  • O primeiro dígito binário depois da vírgula é d_1.
  • Repetindo, obtemos a sequência de dígitos d_1,d_2,\dots tal que
0{,}f_{10} = 0{,}d_1 d_2 d_3\ldots_2.
Observação útil para provas: uma fração \dfrac{p}{q} na forma irreduzível tem expansão finita em base 2 iff q tem apenas fator primo 2. Aqui \dfrac{1}{10} tem denominador 10=2\cdot5, portanto a expansão em base 2 será periódica (não termina).

Passo 3

Aplicando o algoritmo à mão em passos (mostrando a multiplicação e a parte inteira obtida):
  • Parte inicial: f_0 = 0{,}1 = \dfrac{1}{10}.
  1. 2f_0 = 2\times0{,}1 = 0{,}2. Parte inteira d_1 = 0. Nova parte fracionária f_1 = 0{,}2.
  2. 2f_1 = 2\times0{,}2 = 0{,}4. Parte inteira d_2 = 0. Nova parte fracionária f_2 = 0{,}4.
  3. 2f_2 = 2\times0{,}4 = 0{,}8. Parte inteira d_3 = 0. Nova parte fracionária f_3 = 0{,}8.
  4. 2f_3 = 2\times0{,}8 = 1{,}6. Parte inteira d_4 = 1. Nova parte fracionária f_4 = 0{,}6.
  5. 2f_4 = 2\times0{,}6 = 1{,}2. Parte inteira d_5 = 1. Nova parte fracionária f_5 = 0{,}2.
  6. 2f_5 = 2\times0{,}2 = 0{,}4. Parte inteira d_6 = 0. Nova parte fracionária f_6 = 0{,}4.
  7. 2f_6 = 2\times0{,}4 = 0{,}8. Parte inteira d_7 = 0. Nova parte fracionária f_7 = 0{,}8.
  8. 2f_7 = 2\times0{,}8 = 1{,}6. Parte inteira d_8 = 1. Nova parte fracionária f_8 = 0{,}6.
  9. 2f_8 = 2\times0{,}6 = 1{,}2. Parte inteira d_9 = 1. Nova parte fracionária f_9 = 0{,}2.
Note que a partir de f_1=0{,}2 a sequência de partes fracionárias repetiu: 0{,}2\to0{,}4\to0{,}8\to0{,}6\to0{,}2. Isso indica um ciclo: os dígitos correspondentes também vão repetir.

Passo 4

Agora escrevo os dígitos binários obtidos na ordem:
d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6,d_7,d_8,d_9,\ldots = 0,0,0,1,1,0,0,1,1,\ldots
Portanto a expansão binária é
0{,}1_{10} = 0{,}0001100110011\ldots_2.
Identificando o período: depois de três zeros iniciais, os quatro dígitos 1,1,0,0 repetem. Assim podemos escrever de forma compacta
0{,}1_{10} = 0{,}000\overline{1100}_2.

Passo 5

Checagem algébrica curta (para confirmar): seja x = 0{,}000\overline{1100}_2. Coloca-se o bloco repetido numa variável:
z = 0{,}\overline{1100}_2.
Como o período tem comprimento 4, vale 16z = 1100{,}\overline{1100}_2. Em decimal, 1100_2 = 12. Então
16z = 12 + z \quad\Rightarrow\quad 15z = 12 \quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}.
Como x = 2^{-3} z (há três zeros antes do período), obtemos
x = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{10},
confirmando que a expansão está correta.

Resposta

0{,}1_{10} = 0{,}0001100110011\ldots_2 = 0{,}000\overline{1100}_2

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