Considere a matriz
Calcule os autovetores de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar os autovetores da matriz
Isso é conteúdo de álgebra linear: autovalores e autovetores. Pra resolver, a gente precisa calcular o polinômio característico (usando determinante de
) e depois resolver o sistema
pra cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o polinômio característico:
Lembra que a gente faz
.
Passo 3
Calculemos:
Expandindo:
então
Agora resolvemos
.
Passo 4
A equação
tem raízes
Logo os autovalores são
Passo 5
Agora, para cada
, resolvemos
:
- Para
:
O sistema é
ou seja
. Pra ficar mais simples, escolhemos
, daí
.
Um autovetor associado é
Um autovetor associado é
- Para
:
O sistema é
Escolhendo
dá
.
Um autovetor associado é
Um autovetor associado é
Resposta
Os autovetores de
são os múltiplos de