Considere a matriz
Calcule os autovetores de A=[ll 6 & -5 3 & -2 ] .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os autovetores da matriz
A = 6 & -5 3 & -2
Isso é conteúdo de álgebra linear: autovalores e autovetores. Pra resolver, a gente precisa calcular o polinômio característico (usando determinante de A - lambda I) e depois resolver o sistema (A - lambda I)v=0 pra cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det 6 - lambda & -5 3 & -2 - lambda
Lembra que a gente faz det!a&bc&d=ad - bc.

Passo 3

Calculemos:
det(A - lambda I) = (6 - lambda)(-2 - lambda) - (-5)cdot 3 = (6 - lambda)(-2 - lambda) +15
Expandindo:
(6 - lambda)(-2 - lambda) = -12 -6lambda +2lambda +lambda^2 = lambda^2 -4lambda -12,
então
lambda^2 -4lambda -12 +15 = lambda^2 -4lambda +3 = 0
Agora resolvemos lambda^2 -4lambda +3=0.

Passo 4

A equação lambda^2 -4lambda +3=0 tem raízes
lambda = 4 pm raiz(-4)^2 -4cdot1cdot32 = 4 pm raiz16-122 = 4 pm 22
Logo os autovalores são
lambda1 = 3, lambda2 = 1

Passo 5

Agora, para cada lambdai, resolvemos (A - lambdai I)v = 0:
  1. Para lambda1 = 3:
A - 3I = 6-3 & -5 3 & -2-3 = 3 & -5 3 & -5
O sistema é
3x -5y = 0,
ou seja y = tfrac35x. Pra ficar mais simples, escolhemos x=5, daí y=3.
Um autovetor associado é
v1 = 53
  1. Para lambda2 = 1:
A - 1I = 6-1 & -5 3 & -2-1 = 5 & -5 3 & -3
O sistema é
5x -5y = 0 Longrightarrow x = y
Escolhendo x=1 y=1.
Um autovetor associado é
v2 = 11

Resposta

Os autovetores de A são os múltiplos de
v1 = 53 (para lambda=3) e v2 = 11 (para lambda=1)

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