Considere a matriz
Calcule os autovalores de
.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente encontrar os autovalores da matriz
Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente de autovalores e autovetores. Para resolver, a gente vai usar o conceito de polinômio característico e determinantinho de matrizes 2×2.
Passo 2
Teoria rápida: um número
é autovalor de
se existir um vetor não nulo
tal que
Isso leva à equação
. Para ter solução não-trivial, precisamos que
No nosso caso,
é a matriz identidade 2×2, então
A gente agora calcula o determinante dessa matriz e iguala a zero.
Passo 3
Determinante de 2×2 é sempre
. Aqui,
Vamos expandir passo a passo:
-
- O outro termo é
Portanto
Igualamos a zero para achar os autovalores:
Passo 4
Agora é só resolver essa equação quadrática. Lembra da fórmula
para ? Aqui
,
,
.
para
- Discriminante:
- Raízes:
Isso dá duas soluções:
Resposta
Os autovalores de
são
e
.