Considere a matriz
Calcule os autovalores de A=[ll 6 & -5 3 & -2 ] .

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente encontrar os autovalores da matriz
A = 6 & -5 [4pt] 3 & -2
Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente de autovalores e autovetores. Para resolver, a gente vai usar o conceito de polinômio característico e determinantinho de matrizes 2×2.

Passo 2

Teoria rápida: um número A,v = lambda,v é autovalor de det(A - lambda I) = 0 se existir um vetor não nulo A - lambda I = 6 & -5 [3pt] 3 & -2 - lambda & 0 [3pt] 0 & lambda = 6-lambda & -5 [3pt] 3 & -2-lambda tal que
Isso leva à equação . Para ter solução não-trivial, precisamos que
No nosso caso, é a matriz identidade 2×2, então
A gente agora calcula o determinante dessa matriz e iguala a zero.

Passo 3

Determinante de 2×2 é sempre det(A - lambda I) = (6-lambda)(-2-lambda) - (3)(-5) . Aqui,
det(A - lambda I) = l(lambda^2 -4lambda -12r) + 15 = lambda^2 -4lambda +3
Vamos expandir passo a passo:
  1. lambda^2 -4lambda +3 = 0
  2. O outro termo é
    Portanto
Igualamos a zero para achar os autovalores:

Passo 4

Agora é só resolver essa equação quadrática. Lembra da fórmula
lambda = -(-4) pm raiz42cdot1 = 4 pm 22
para lambda1 = 4+22 = 3, lambda2 = 4-22 = 1 ? Aqui , , .
  1. Discriminante:
  2. Raízes:
Isso dá duas soluções:

Resposta

Os autovalores de são e .

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