Considere a matriz A=[cc-0,5 & 3 0,5 & -1], na qual u1 e u2 são os autovetores de A normalizados. Qual é o valor do módulo do produto interno usual entre esses dois vetores, |u1 cdot u2| ?
a) 3 raiz25
b) 5
C) 7 raiz25
d) raiz22

Passo 1

Beleza, amigo! A pergunta é: “Dada a matriz
A = -0,5 & 3 [6pt] 0,5 & -1,
sejam e os autovetores normalizados de . Qual é o valor de ?”
Conteúdo que vamos usar:
  • Cálculo de autovalores (resolvendo ).
  • Encontrar autovetores associados.
  • Normalização de vetores.
  • Produto interno usual em .

Passo 2

Primeiro, achamos os autovalores detl(A - lambda Ir) = det-0,5-lambda & 3[3pt]0,5 & -1-lambda =0 resolvendo
(-0,5-lambda)(-1-lambda) - (3)(0,5) = (lambda+0,5)(lambda+1) -1,5 = lambda^2 +1,5lambda +0,5 -1,5 = lambda^2 +1,5lambda -1 = 0
Isso dá
lambda = -1,5 pm raiz1,5^2 +42 = -1,5 pm raiz6,252 = -1,5 pm 2,52
Resolvendo a equação quadrática lambda1 = tfrac-1,5 +2,52 = 0,5, lambda2 = tfrac-1,5 -2,52 = -2 :
Logo os autovalores são

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
  1. Para -1 & 3[3pt]0,5 & -1,5 xy =0 ;Longrightarrow; -,x +3y=0 ;Rightarrow; x=3y , resolvemos
    1,5 & 3[3pt]0,5 & 1 uv =0 ;Longrightarrow; 1,5,u +3v=0 ;Rightarrow; u=-2v :
u1 = 1raiz10(3,1)
Escolhemos u2 = 1raiz5(-2,1) , então um autovetor é .
  1. Para , resolvemos
    :
Escolhendo , um autovetor é .
Agora normalizamos cada um:
– Norma de é ,
portanto
– Norma de é ,
então

Passo 4

O produto interno usual em u1cdot u2 = 1raiz10,(3,1);cdot;1raiz5,(-2,1) = 1raiz50l(3cdot(-2)+1cdot1r) = -6+1raiz50 = -55raiz2 = -1raiz2 é
l|-1raiz2r| = 1raiz2 = raiz22
E o enunciado quer , isto é

Resposta

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