Considere a matriz
, na qual
e
são os autovetores de
normalizados. Qual é o valor do módulo do produto interno usual entre esses dois vetores,
?
a)
b) 5
C)
d)
a)
b) 5
C)
d)
Passo 1
Beleza, amigo! A pergunta é: “Dada a matriz
sejam
e
os autovetores normalizados de
. Qual é o valor de
?”
Conteúdo que vamos usar:
- Cálculo de autovalores (resolvendo
). - Encontrar autovetores associados.
- Normalização de vetores.
- Produto interno usual em
.
Passo 2
Primeiro, achamos os autovalores
detl(A - lambda Ir) = det-0,5-lambda & 3[3pt]0,5 & -1-lambda =0 resolvendo
Isso dá
Resolvendo a equação quadrática
lambda1 = tfrac-1,5 +2,52 = 0,5, lambda2 = tfrac-1,5 -2,52 = -2 :
Logo os autovalores são
Passo 3
Agora achamos os autovetores:
- Para
, resolvemos-1 & 3[3pt]0,5 & -1,5 xy =0 ;Longrightarrow; -,x +3y=0 ;Rightarrow; x=3y
:1,5 & 3[3pt]0,5 & 1 uv =0 ;Longrightarrow; 1,5,u +3v=0 ;Rightarrow; u=-2v
Escolhemos
u2 = 1raiz5(-2,1) , então um autovetor é
.
- Para
, resolvemos
:
Escolhendo
, um autovetor é
.
Agora normalizamos cada um:
– Norma de
é
,
portanto
portanto
– Norma de
é
,
então
então
Passo 4
O produto interno usual em
u1cdot u2 = 1raiz10,(3,1);cdot;1raiz5,(-2,1) = 1raiz50l(3cdot(-2)+1cdot1r) = -6+1raiz50 = -55raiz2 = -1raiz2 é
E o enunciado quer
, isto é