Seja V o espaço vetorial dos polinômios f de grau menor ou igual a 4, isto é, f(x)=sumn=0^4 fn x^n, onde fn in R.
Qual é a dimensão do espaço nulo da transformação linear dada por
T: V & R^3 f & mapsto(f(-1), f(0), f(1)) ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem o espaço T:VtoR^3, fmapstol(f(-1),,f(0),,f(1)r) de todos os polinômios reais de grau até 4 (ou seja, ) e uma transformação linear
O que a gente quer é a dimensão do espaço nulo (núcleo) de .
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de núcleo de uma transformação linear.
  • Teorema do fator (raízes de polinômio).
  • Noções de grau de polinômio e dimensão de espaços de polinômios.

Passo 2

Primeiro, lembra que o núcleo de T(f) = (f(-1),,f(0),,f(1)) = (0,0,0) é o conjunto de todos os polinômios f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=0 tais que
Ou seja, estamos procurando todos os de grau ≤4 que satisfazem

Passo 3

Da teoria de polinômios, se um polinômio anula em x - (-1)=x+1, x-0 = x, x-1 , então f(x) = (x+1),l(xr),l(x-1r),g(x) é fator dele. Aqui queremos zeros em , e . Logo os fatores obrigatórios de são
Então qualquer do núcleo deve ser da forma
para algum polinômio .

Passo 4

Como g(x) = a + b,x, tem grau no máximo 4 e f(x) = (x+1),x,(x-1),(a + b,x) já é de grau 3, o não pode ter grau maior que .
Logo escrevemos
com . Isso significa que todo no núcleo é

Passo 5

O espaço de todos os polinômios de grau ≤1 (ou seja, ) tem dimensão 2, pois eles são gerados pela base . Como o núcleo é exatamente esse conjunto (aplicado ao fator ), a dimensão do núcleo de também é 2.

Resposta

2

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