Seja
o espaço vetorial dos polinômios
de grau menor ou igual a 4, isto é,
, onde
.
Qual é a dimensão do espaço nulo da transformação linear dada por
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Qual é a dimensão do espaço nulo da transformação linear dada por
b) 1
c) 2
d) 3
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem o espaço
de todos os polinômios reais de grau até 4 (ou seja,
) e uma transformação linear
O que a gente quer é a dimensão do espaço nulo (núcleo) de
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de núcleo de uma transformação linear.
- Teorema do fator (raízes de polinômio).
- Noções de grau de polinômio e dimensão de espaços de polinômios.
Passo 2
Primeiro, lembra que o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios
tais que
Ou seja, estamos procurando todos os
de grau ≤4 que satisfazem
Passo 3
Da teoria de polinômios, se um polinômio anula em
, então
é fator dele. Aqui queremos zeros em
,
e
. Logo os fatores obrigatórios de
são
Então qualquer
do núcleo deve ser da forma
para algum polinômio
.
Passo 4
Como
tem grau no máximo 4 e
já é de grau 3, o
não pode ter grau maior que
.
Logo escrevemos
Logo escrevemos
com
. Isso significa que todo
no núcleo é
Passo 5
O espaço de todos os polinômios de grau ≤1 (ou seja,
) tem dimensão 2, pois eles são gerados pela base
. Como o núcleo é exatamente esse conjunto (aplicado ao fator
), a dimensão do núcleo de
também é 2.
Resposta
2