Considere o operador linear f: R^2 R^2, cuja representação matricial na base canônica A=(1,0),(0,1) do R^2 é dada por TA=[cc3 & -3 -2 & 4], e seja a base B=(3,2),(-1,1) outra base do R^2.
Qual é a representação matricial TB do operador f na base B ?
a) TB=15[cc37 & -28 8 & -2]
b) TB=[ll1 & 0 0 & 6]
c) TB=15[cc29 & 3 -21 & 3]
d) TB=15[cc4 & -13 2 & 31]

Passo 1

Beleza, a questão diz que a transformação linear [T]A ;=; 3 & -3 -2 & 4 tem matriz na base canônica
B = , (3,2),;(-1,1)
e que queremos a matriz dessa mesma transformação, mas agora na base
[T]B ;=; P^-1,[T]A,P,
Conteúdo: mudança de base de operador linear.
O que vamos usar: a fórmula
onde é a matriz cujas colunas são os vetores de escritos na base canônica.

Passo 2

Primeiro, montar P = 3 & -1 2 & 1 .
Cada coluna de é um vetor de em coordenadas canônicas, ou seja
Isso significa que o primeiro vetor de é e o segundo é .

Passo 3

Agora a gente precisa de det(P) = 3cdot1 - (-1)cdot2 = 3 + 2 = 5 .
  1. Calcula o determinante de P^-1 ;=; 1det P d & -b -c & a para; P=a&bc&d :
P^-1 ;=;15 1 & 1 -2 & 3
  1. Usa a fórmula da inversa de uma :
Aqui , então

Passo 4

Calcular TA,P =3 & -3-2 & 4 3 & -12 & 1 = 3cdot3 + (-3)cdot2 & 3cdot(-1)+(-3)cdot1 -2cdot3 + 4cdot2 & -2cdot(-1)+4cdot1 =3 & -62 & 6 .

Passo 5

Finalmente,
[T]B = P^-1,(TA,P) =151 & 1-2 & 3 3 & -62 & 6
Fazendo o produto interno:
[
1cdot3 + 1cdot2 & 1cdot(-6) + 1cdot6 -2cdot3 + 3cdot2 & -2cdot(-6)+3cdot6 = 5 & 00 & 30,

[T]B = 155 & 00 & 30 =1 & 00 & 6 ,
]
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Resposta

A representação matricial de boxed[T]B = 1 & 00 & 6 na base é
Isso corresponde à alternativa (b).

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