Seja
a matriz de ordem 2 que representa a projeção ortogonal sobre o subespaço do
gerado pelo vetor
.
Qual é a matriz
?
a)
b)
c)
d)
Qual é a matriz
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, então o problema é: “A gente tem que achar a matriz
de ordem 2 que faz projeção ortogonal em
sobre a reta (subespaço) gerada pelo vetor
.”
Isso é papo de Álgebra Linear, mais precisamente projeção ortogonal e matrizes de projeção. Pra resolver, a gente vai usar a fórmula da projeção em um vetor:
Isso é papo de Álgebra Linear, mais precisamente projeção ortogonal e matrizes de projeção. Pra resolver, a gente vai usar a fórmula da projeção em um vetor:
onde
é o vetor que gera o subespaço.
Passo 2
Primeiro identifica o vetor
. No enunciado ele é
Esse vai ser o nosso “eixo” de projeção: qualquer ponto em
vai ser empurrado perpendicularmente pra essa reta.
Passo 3
Agora a fórmula da projeção ortogonal de
em um vetor
diz que a matriz é
Aqui
é o produto externo (matriz 2×2) e
é o produto interno (um escalar).
Passo 4
Calculemos cada parte:
-
Produto interno
: -
Produto externo
:
Então
Passo 5
Basta agora comparar com as opções: a que bate certinho é
que é a letra d.