Seja A a matriz de ordem 2 que representa a projeção ortogonal sobre o subespaço do R^2 gerado pelo vetor [l1 2].
Qual é a matriz A ?
a) A=[ll1 & 0 2 & 0]
b) A=15[ll2 & 1 4 & 2]
c) A=[ll1 & 2 0 & 0]
d) A=15[ll1 & 2 2 & 4]

Passo 1

Beleza, então o problema é: “A gente tem que achar a matriz 12 de ordem 2 que faz projeção ortogonal em A ;=;u,u^Tu^T u, sobre a reta (subespaço) gerada pelo vetor
.”
Isso é papo de Álgebra Linear, mais precisamente projeção ortogonal e matrizes de projeção. Pra resolver, a gente vai usar a fórmula da projeção em um vetor:
onde é o vetor que gera o subespaço.

Passo 2

Primeiro identifica o vetor u = 12 . No enunciado ele é
Esse vai ser o nosso “eixo” de projeção: qualquer ponto em vai ser empurrado perpendicularmente pra essa reta.

Passo 3

Agora a fórmula da projeção ortogonal de A = u,u^Tu^T u em um vetor diz que a matriz é
Aqui é o produto externo (matriz 2×2) e é o produto interno (um escalar).

Passo 4

Calculemos cada parte:
  1. Produto interno u^T u = [1;;2]12 = 1cdot1 + 2cdot2 = 1 + 4 = 5 :
    u,u^T = 12[1;;2] = 1cdot1 & 1cdot2 2cdot1 & 2cdot2 = 1 & 22 & 4
  2. Produto externo A = 151 & 22 & 4 :
Então

Passo 5

Basta agora comparar com as opções: a que bate certinho é
151 & 22 & 4,
que é a letra d.

Resposta

1 & 22 & 4 (opção d).

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