Considere a matriz A=[cccc1 & 2 & -2 & -1 1 & 1 & 3 & 3 1 & -1 & 1 & -1 1 & 2 & -3 & x].
Qual é o valor de x para que o determinante de A seja igual a zero?
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2

Passo 1

Beleza, aqui o lance é: temos a matriz
A= 1 & 2 & -2 & -1 1 & 1 & 3 & 3 1 & -1 & 1 & -1 1 & 2 & -3 & x
A matéria é determinante de matriz e queremos achar o valor de para que .
O que vamos usar:
  • Operações elementares em linhas (subtração de linhas não muda o determinante).
  • Expansão do determinante por co­fatores (Laplace) para calcular o valor restante.

Passo 2

Primeiro, simplifica o cálculo fazendo operações de linha. Se eu substituir
L2 L2 - L1, L3 L3 - L1, L4 L4 - L1,
o determinante não muda. Aplicando:
1 & 2 & -2 & -1 1 & 1 & 3 & 3 1 & -1 & 1 & -1 1 & 2 & -3 & x longrightarrow 1 & 2 & -2 & -1 0 & -1 & 5 & 4 0 & -3 & 3 & 0 0 & 0 & -1 & x+1

Passo 3

Agora vamos expandir esse determinante pela primeira linha (fórmula de Laplace):
det(A) =1cdot M11 -2cdot M12 +(-2)cdot M13 -(-1)cdot M14,
onde é o determinante do menor obtido tirando a linha 1 e a coluna .

Passo 4

Observando a matriz, os menores det(A)=1cdot M11 têm a primeira coluna toda zero, então cada um vale zero. Só sobra
-1 & 5 & 4 -3 & 3 & 0 0 & -1 & x+1
O menor é a matriz 3×3

Passo 5

Calcula det(M11) &=-1cdotdet!3&0-1&x+1 -5cdotdet!-3&00&x+1 +4cdotdet!-3&30&-1 &=-1l(3(x+1)-0r) -5l((-3)(x+1)-0r) +4l((-3)(-1)-0r) &=-3(x+1)+15(x+1)+4cdot3 &=12(x+1)+12=12x+24 por regra de Sarrus ou expansão:

Passo 6

Logo
det(A)=1cdot(12x+24)=12(x+2)
Para 12(x+2)=0 Rightarrow x=-2 , precisamos de

Resposta

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